Royaume du Maroc - Ministère de l'Éducation Nationale
Correction Détaillée - Examen Régional Maths 2023
Académie Régionale : Casablanca - Settat
1 Exercice 1 (6 points)
- Vérifier que les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'équation : \(3x^{2}+5x+2=0\) sont -1 et \(\frac{-2}{3}\).
- Déduire dans \(\mathbb{R}\) l'ensemble des solutions de l'inéquation : \(3x^{2}+5x+2 \ge 0\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}x-y=5\\ 4x-3y=2\end{cases}\).
- Dans un hôtel de 150 chambres, le pourcentage de chambres réservées est 72%. Calculer le nombre de chambres réservées dans cet hôtel.
1) Vérification des solutions :
Calculons le discriminant \(\Delta\) avec \(a=3, b=5, c=2\).
\(\Delta = 5^2 - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1\).
Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions :
- \(x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{-6}{6} = -1\)
- \(x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}\)
Les solutions sont bien -1 et \(-\frac{2}{3}\).
2) Résolution de l'inéquation :
Le trinôme est du signe de \(a=3\) (positif) à l'extérieur des racines.
Ensemble solution : \(S = ]-\infty ; -1] \cup [-\frac{2}{3} ; +\infty[\).
3) Résolution du système :
Par substitution : De la 1ère équation, \(x = y + 5\).
Remplaçons dans la 2ème : \(4(y + 5) - 3y = 2 \implies 4y + 20 - 3y = 2 \implies y = -18\).
Alors \(x = -18 + 5 = -13\).
La solution est le couple (-13 ; -18).
4) Calcul du pourcentage :
Nombre de chambres réservées = \(150 \times \frac{72}{100} = 150 \times 0.72 = 108\).
Il y a 108 chambres réservées.
2 Exercice 2 (8 points)
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-2\).
- Calculer : \(f(-3)\), \(f(-2)\), \(f(0)\) et \(f(1)\).
- Calculer : \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\).
- Montrer que : \(f'(x)=3x(x+2)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\).
- Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
- Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé.
- Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation : \(f(x)=0\).
- Résoudre graphiquement l'inéquation : \(f(x) \le 2\).
1) Calcul des images :
- \(f(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 2 = -2\)
- \(f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 2 = 1 + 3 - 2 = 2\)
- \(f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2\)
2) Limites à l'infini :
Il s'agit d'une fonction polynôme, on prend le terme de plus haut degré (\(x^3\)).
- \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} x^3 = +\infty\)
- \(\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} x^3 = -\infty\)
3) Dérivée :
\(f'(x) = (x^3)' + (3x^2)' - (2)' = 3x^2 + 6x\).
En factorisant par \(3x\), on obtient : \(f'(x) = 3x(x+2)\).
4) Tableau de variations :
Signe de \(f'(x)\) : Positif sur \(]-\infty ; -2[ \cup ]0 ; +\infty[\) et Négatif sur \(]-2 ; 0[\).
\(f\) croissante sur \(]-\infty ; -2]\) et \([0 ; +\infty[\), décroissante sur \([-2 ; 0]\).
Maximum local en \(x=-2\), \(f(-2)=2\). Minimum local en \(x=0\), \(f(0)=-2\).
5) Lecture Graphique :
a) L'équation \(f(x)=0\) correspond aux intersections avec l'axe des abscisses. D'après les variations, la courbe coupe l'axe 3 fois.
b) L'inéquation \(f(x) \le 2\) correspond aux abscisses où la courbe est en dessous de la droite \(y=2\). D'après le calcul précédent (\(f(-2)=2\) et \(f(1)=2\)), la solution est \(S = ]-\infty ; 1]\).
Représentation Graphique (mibyane) :
3 Exercice 3 (4 points)
Soit \((v_n)\) une suite géométrique de premier terme \(v_0 = \frac{1}{4}\) et de raison \(q=2\).
- Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).
- Calculer \(v_1\) et \(v_4\).
- Déterminer le nombre \(n\) tel que \(v_n = 16\).
- Calculer la somme : \(S = v_0 + v_1 + \dots + v_6\).
1) Terme général :
Pour une suite géométrique : \(v_n = v_0 \times q^n\).
Donc : \(v_n = \frac{1}{4} \times 2^n\).
2) Calculs :
- \(v_1 = \frac{1}{4} \times 2^1 = \frac{2}{4} = 0.5\)
- \(v_4 = \frac{1}{4} \times 2^4 = \frac{16}{4} = 4\)
3) Trouver n :
\(\frac{1}{4} \times 2^n = 16 \implies 2^n = 16 \times 4 = 64\).
On sait que \(2^6 = 64\), donc n = 6.
4) Somme S :
Formule : \(S = v_0 \frac{1 - q^{\text{nbre termes}}}{1 - q}\).
Ici de \(v_0\) à \(v_6\), il y a 7 termes.
\(S = \frac{1}{4} \frac{1 - 2^7}{1 - 2} = \frac{1}{4} \frac{1 - 128}{-1} = \frac{1}{4} \times 127 = 31.75\).
4 Exercice 4 (2 points)
Une boîte contient six jetons blancs et trois jetons noirs. On tire au hasard successivement et sans remise deux jetons de la boîte.
- Montrer que le nombre de tirages possibles est 72.
- Calculer le nombre de tirages pour obtenir deux jetons noirs.
- Calculer le nombre de tirages pour obtenir deux jetons de couleurs différentes.
Analyse :
Nombre total de jetons : \(6 \text{ (blancs)} + 3 \text{ (noirs)} = \mathbf{9} \text{ jetons}\).
Type de tirage : Successivement sans remise (l'ordre compte). On utilise les Arrangements \(A_n^p\).
1) Nombre de tirages possibles :
Il s'agit de choisir 2 jetons parmi 9 en tenant compte de l'ordre :
\(A_9^2 = 9 \times 8 = \mathbf{72}\). (Le nombre de tirages possibles est bien 72).
2) Tirer deux jetons noirs :
Il faut choisir 2 jetons parmi les 3 jetons noirs disponibles :
\(A_3^2 = 3 \times 2 = \mathbf{6}\). Il y a 6 tirages possibles.
3) Deux couleurs différentes :
Deux cas possibles (l'ordre est important) :
- 1er Blanc ET 2ème Noir : \(6 \times 3 = 18\)
- OU 1er Noir ET 2ème Blanc : \(3 \times 6 = 18\)
Total = \(18 + 18 = \mathbf{36}\).