Correction Régional de Mathématiques 2024

Académie Beni Mellal-Khenifra - Session Normale

Matière : Mathématiques

Filière : Lettres et Sciences Humaines

Durée : 1h30min

Coefficient : 1

Exercice N° 1 (6 pts)

1. Soit dans $\mathbb{R}$ l'équation (E): $3x^2 - 2x - 5 = 0$

a. Montrer que le discriminant de l'équation (E) est $\Delta = 64$. (0,5 pt)
b. Montrer que les deux solutions de l'équation (E) dans $\mathbb{R}$ sont $-1$ et $\frac{5}{3}$. (1 pt)
c. Dresser le tableau du signe du trinôme: $3x^2 - 2x - 5$. (0,75 pt)
d. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation: $3x^2 - 2x - 5 \le 0$. (0,75 pt)

1.a Calcul de $\Delta$:

Avec $a=3, b=-2, c=-5$.

$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64$.

1.b Calcul des racines:

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} = 8$.

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2-8}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2+8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

1.c Tableau de signe:

Puisque $a=3 > 0$, le signe est positif à l'extérieur des racines $[-1 ; \frac{5}{3}]$ et négatif à l'intérieur.

1.d Inéquation:

On cherche où le trinôme est $\le 0$.

S = $[-1 ; \frac{5}{3}]$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système: $\begin{cases}4x+3y=80 \\ x+y=15\end{cases}$ (2 pts)

Système:

Par substitution ($y = 15-x$):

$4x + 3(15-x) = 80 \Rightarrow 4x + 45 - 3x = 80 \Rightarrow x = 35$.

$y = 15 - 35 = -20$.

S = {(35 ; -20)}.

3. Un ouvrier perçoit la somme de 5600 DH comme salaire mensuel. Il alloue 30% pour les frais du loyer. Calculer le prix du loyer. (1 pt)

Loyer:

$5600 \times \frac{30}{100} = 5600 \times 0.3 = 1680$.

Loyer = 1680 DH.

Exercice N° 2 (4 pts)

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = -2$ et de raison $q = 3$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (1 pt)
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. (1 pt)
3. Calculer la somme: $S = u_0 + u_1 + \cdot \cdot \cdot + u_8$. (sans calculer chacun de ses termes; on donne $3^9 = 19683$) (2 pts)

1. Termes:

$u_1 = u_0 \times q = -2 \times 3 = -6$.

$u_2 = u_1 \times q = -6 \times 3 = -18$.

2. Formule:

Pour une suite géométrique:

$u_n = u_0 \times q^n = -2 \times 3^n$.

3. Somme:

$S = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. Ici de 0 à 8, il y a 9 termes.

$S = -2 \frac{1-3^9}{1-3} = -2 \frac{1-19683}{-2} = 1 - 19683$.

S = -19682.

Exercice N° 3 (2 pts)

Une urne contient 9 jetons numérotés de 1 à 9. Les jetons sont indiscernables au toucher. On tire simultanément trois jetons de l'urne.

1. Calculer le nombre de tirages possibles. (1 pt)
2. Montrer que le nombre de tirages formés de deux boules portant des numéros pairs et une boule portant un numéro impair est 30. (1 pt)

1. Total:

$C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ tirages.

2. Détail:

Dans l'urne, Pairs = {2,4,6,8} (4 jetons), Impairs = {1,3,5,7,9} (5 jetons).

On veut 2 pairs parmi 4 ET 1 impair parmi 5:

$C_4^2 \times C_5^1 = 6 \times 5 = 30$.

Confirmé : 30 tirages.

Exercice N° 4 (8 pts)

On considère $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - x^2 + 1$ et $(C_f)$ sa courbe.

1. Déterminer $D_f$ puis Calculer $f(0), f(\frac{1}{2})$ et $f(1)$. (1 pt)
2. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. (2 pts)
3. Montrer que $f'(x) = 2x(x-1)$ pour tout $x$ de $D_f$; puis Calculer $f'(\frac{1}{2})$. (1,5 pts)
4. Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[$. (1 pt)
5. Montrer que $f'(x) < 0$ pour tout $x$ de $]0, 1[$. (0,5 pt)
6. Donner le tableau de variation de $f$ en justifiant votre réponse. (1 pt)
7. Montrer que $y = -\frac{1}{2}x + \frac{13}{12}$ est l'équation de la tangente (T) en $x_0 = \frac{1}{2}$. (0,5 pt)
8. Dessiner $(C_f)$ dans un repère orthonormé. (0,5 pt)

1. Images:

$f(0)=1$ ; $f(1)=\frac{2}{3}-1+1 = \frac{2}{3}$ ; $f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{1}{8})-\frac{1}{4}+1 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

2. Limites:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{3}x^3 = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{3}x^3 = -\infty$.

3. Dérivée:

$f'(x) = \frac{2}{3}(3x^2) - 2x = 2x^2 - 2x = 2x(x-1)$.

$f'(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}-1) = 1 \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.

4 & 5. Signe:

$2x(x-1)$ est un trinôme s'annulant en 0 et 1. Il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

6. Variations:

$f$ est croissante sur $]-\infty, 0]$ et $[1, +\infty[$, et décroissante sur $[0, 1]$.

7. Tangente:

$y = f'(\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2}) + f(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{5}{6} = -\frac{1}{2}x + \frac{3+10}{12} = -\frac{1}{2}x + \frac{13}{12}$.

8. Dessin:

Image de la courbe à insérer depuis votre dossier images:

Représentation graphique de la fonction f