Correction Examen Régional 2024 - Oriental

Examen Régional de Mathématiques - Juin 2024

Région de l'Oriental Options : Lettres, Sciences Humaines et Enseignement Originel

Exercice 1 : Équations, Inéquations et Systèmes (6 pts)

1) a) Résoudre, dans \(\mathbb{R}\), l'équation : \(-4x^{2}+3x+1=0\) (1,5 pt)

1) b) Résoudre, dans \(\mathbb{R}\), l'inéquation : \(-4x^{2}+3x+1\ge0\) (2 pt)

2) Résoudre, dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système : \(\begin{cases}2x-5y=-26\\ -x+2y=11\end{cases}\) (1 pt)

3) Un ballon coûte 220 Dh. Si son prix est augmenté de 10%, quel est son nouveau prix parmi ces quatre réponses ? (1 pt)
a) 222 Dh b) 210 Dh c) 242 Dh d) 250 Dh

1) a) Équation du second degré :

Calculons le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) :

\(a = -4, \quad b = 3, \quad c = 1\)

\(\Delta = 3^2 - 4(-4)(1) = 9 + 16 = 25\)

Comme \(\Delta > 0\), l'équation admet deux racines réelles :

\(x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3-5}{-8} = \frac{-8}{-8} = 1\)

\(x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3+5}{-8} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}\)

\(S = \left\{ -\frac{1}{4} ; 1 \right\}\)

1) b) Inéquation :

D'après le tableau de signe d'un trinôme (signe de \(a\) à l'extérieur des racines), et comme \(a = -4 < 0\), le trinôme est positif entre les racines.

\(S = \left[ -\frac{1}{4} ; 1 \right]\)

2) Système :

Par substitution (de la 2ème équation) : \(x = 2y - 11\).

Dans la 1ère : \(2(2y - 11) - 5y = -26 \implies 4y - 22 - 5y = -26 \implies -y = -4 \implies y = 4\).

Puis \(x = 2(4) - 11 = 8 - 11 = -3\).

\(S = \{ (-3 ; 4) \}\)

3) Pourcentage :

Nouveau prix = \(220 \times \left(1 + \frac{10}{100}\right) = 220 \times 1.1 = 242\)

Réponse : c) 242 Dh

Exercice 2 : Suites Numériques (4 pts)

Soit \((U_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) une suite arithmétique de premier terme : \(U_{0}=2\) et vérifiant : \(U_{1}+U_{2}=-5\).

1) Montrer que la raison de la suite \((U_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) est : \(r=-3\) (1 pt)

2) Vérifier que : \(U_{n}=2-3n.\) (0,5 pt)

3) Est-ce que 2024 est un terme de la suite \((U_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) ? Justifier votre réponse. (1 pt)

4) a) Vérifier que : \(U_{20}=-58.\) (0,5 pt)

4) b) Calculer la somme : \(S=U_{2}+U_{3}+\dots+U_{20}\) (1 pt)

1) Raison \(r\) :

\(U_1 = U_0 + r = 2 + r\) et \(U_2 = U_0 + 2r = 2 + 2r\).

\(U_1 + U_2 = -5 \implies (2+r) + (2+2r) = -5 \implies 4 + 3r = -5 \implies 3r = -9 \implies r = -3\).

2) Terme général :

\(U_n = U_0 + n \times r = 2 + n(-3) \implies U_n = 2 - 3n\).

3) Terme 2024 ?

Résolvons \(2 - 3n = 2024 \implies -3n = 2022 \implies n = -674\).

Puisque \(n\) doit être un entier naturel (\(n \ge 0\)), 2024 n'est pas un terme de la suite.

4) b) Somme \(S\) :

Nombre de termes = \(20 - 2 + 1 = 19\).

\(U_2 = 2 - 3(2) = -4\).

\(S = \frac{19}{2} \times (U_2 + U_{20}) = \frac{19}{2} \times (-4 - 58) = \frac{19}{2} \times (-62) = 19 \times (-31) = -589\).

\(S = -589\)

Exercice 3 : Dénombrement (2 pts)

Dans une boulangerie, un panier contient trois croissants et quatre pains au chocolat. Un client choisit 2 pièces simultanément.

1) Quel est le nombre de choix possibles ? (0,5 pt)

2) Quel est le nombre de possibilités d'avoir un croissant et un pain au chocolat ? (0,75 pt)

3) Quel est le nombre de choix possibles pour avoir un croissant au plus ? (0,75 pt)

💡 Analyse de l'énoncé :

Nombre de croissants : 3
Nombre de pains au chocolat : 4
Total d'articles (\(n\)) : 7
Nombre de pièces choisies (\(p\)) : 2
Mot-clé : "Simultanément" → On utilise les Combinaisons \(C_{n}^{p}\).

1) Nombre total de choix possibles :

Il s'agit de choisir 2 pièces parmi les 7 pièces du panier sans ordre précis.

\(C_{7}^{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21\)

Il y a 21 choix possibles.

2) Avoir un croissant ET un pain au chocolat :

Pour ce cas précis, on doit sélectionner :

- 1 croissant parmi 3 : \(C_{3}^{1} = 3\)

- 1 pain au chocolat parmi 4 : \(C_{4}^{1} = 4\)

Le "ET" se traduit par une multiplication : \(3 \times 4 = 12\)

Il y a 12 possibilités.

3) Avoir un croissant "au plus" :

"Au plus un croissant" signifie que l'on accepte 0 croissant OU 1 croissant.

Cas A : 0 croissant (donc 2 pains au chocolat)
On choisit les 2 pièces parmi les 4 pains au chocolat : \(C_{4}^{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

Cas B : 1 croissant (donc 1 pain au chocolat)
On utilise le résultat de la question précédente : 12

Total : Le "OU" se traduit par une addition : \(6 + 12 = 18\)

Il y a 18 choix possibles.

✅ Méthode alternative (Événement contraire) : Le seul cas que l'on ne veut pas est d'avoir 2 croissants (\(C_{3}^{2} = 3\)). Total des cas (21) - Cas interdits (3) = 18.

Exercice 4 : Étude de fonctions (8 pts)

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{3}-2\)

1) a) Calculer : \(f(0)\) et \(f(-2)\) (1 pt)

1) b) Calculer : \(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)\) (1,5 pt)

2) a) Vérifier que : \(f^{\prime}(x)=-\frac{3}{4}x^{2}\), pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) (1 pt)

2) b) Étudier le signe de \(f'\) sur \(\mathbb{R}\) (0,5 pt)

2) c) Dresser le tableau de variations de \(f\) (1 pt)

2) d) Déterminer l'équation de la tangente \((T)\) au point d'abscisse : \(x_{0}=-2\) (1,5 pt)

3) Déterminer, parmi les deux courbes \((C_{1})\) et \((C_{2})\) suivantes, celle qui représente la fonction \(f\). (1,5 pt)

1) Images et Limites :

\(f(0) = -\frac{1}{4}(0)^3 - 2 = -2\)

\(f(-2) = -\frac{1}{4}(-8) - 2 = 2 - 2 = 0\)

\(\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} -\frac{1}{4}x^3 = -\infty\)

\(\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} -\frac{1}{4}x^3 = +\infty\)

2) c) Tableau de Variations :

Comme \(f'(x) = -\frac{3}{4}x^{2}\) est toujours négatif ou nul (\(x^2 \ge 0\)), la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

\(x\)	\(-\infty\)	\(0\)	\(+\infty\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(-\infty\)

2) d) Tangente en \(x_0 = -2\) :

\(y = f'(-2)(x - (-2)) + f(-2)\)

\(f'(-2) = -\frac{3}{4}(-2)^2 = -3\)

\(y = -3(x + 2) + 0 \implies y = -3x - 6\)

3) Choix de la courbe :

La courbe correcte est celle qui est décroissante sur \(\mathbb{R}\) et qui passe par le point \((0, -2)\).

📊 Graphiques des Courbes \((C_1)\) et \((C_2)\)