Correction Examen Régional 2024 - Fès-Meknès

Examen Régional de Mathématiques - Session Normale

Académie : Fès-Meknès Niveau : 1ère BAC Lettres & SH

Exercice 1 (6 pts)

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2x^{2}-3x-2=0$

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $2x^{2}-3x-2 \ge 0$

3) Résoudre le système suivant : $\begin{cases} 2x-y=1 \\ -x+2y=7 \end{cases}$

4) Le prix d'une collection de romans pour enfant est 150 DH et celui des autocollants est 80 DH. Sachant que le prix de la collection a augmenté de 10% et celui des autocollants a diminué de 5%, déterminer le nouveau prix de la collection et celui des autocollants.

1) Équation du second degré :

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.

Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions : $x_1 = \frac{3-5}{4} = -1/2$ et $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$.

👉 $S = \{-1/2; 2\}$

2) Inéquation :

Le coefficient $a=2$ est positif. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

👉 $S = ]-\infty; -1/2] \cup [2; +\infty[$

3) Système d'équations :

Par combinaison (L1 + 2×L2) : $3y = 15 \implies y = 5$.

En remplaçant dans L1 : $2x - 5 = 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.

👉 $S = \{(3; 5)\}$

4) Nouveaux prix :

Collection : $150 \times 1.10 = 165$ DH.

Autocollants : $80 \times 0.95 = 76$ DH.

👉 Collection : 165 DH / Autocollants : 76 DH.

Exercice 2 (2 pts)

Une urne contient 10 boules : 6 rouges et 4 vertes. On tire simultanément 2 boules de l'urne.

1) Calculer le nombre de tirages possibles.

2) Calculer le nombre de tirages possibles pour avoir deux boules de même couleur.

1) Tirages possibles :

Il s'agit de choisir 2 boules parmi 10 sans ordre. On utilise les combinaisons :

$C_{10}^{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$.

👉 Il y a 45 tirages possibles.

2) Deux boules de même couleur :

Cela signifie : (2 rouges) OU (2 vertes).

- 2 rouges : $C_{6}^{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.

- 2 vertes : $C_{4}^{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Total : $15 + 6 = 21$.

👉 Il y a 21 tirages de même couleur.

Exercice 3 (4 pts)

Partie I : Soit $(U_{n})$ une suite arithmétique de raison $r=4$ et $U_{0}=1$.

1) Montrer que $U_{n}=4n+1$.

2) Calculer la somme : $S = U_{1}+U_{2}+\dots+U_{10}$.

Partie II : Soit $(V_{n})$ une suite géométrique de raison $q < 0$ avec $V_{0}=1$ et $V_{2}=4$.

1) Montrer que $q=-2$.

2) Ecrire $V_{n}$ en fonction de $n$.

Partie I :

1) $U_n = U_0 + n \times r = 1 + n \times 4 = 4n + 1$. (Montré).

2) La somme comprend 10 termes (de $n=1$ à $n=10$).

$S = 10 \times \frac{U_1 + U_{10}}{2}$. Avec $U_1 = 5$ et $U_{10} = 41$.

$S = 10 \times \frac{5 + 41}{2} = 10 \times 23 = 230$.

👉 $S = 230$.

Partie II :

1) $V_2 = V_0 \times q^2 \implies 4 = 1 \times q^2 \implies q^2 = 4$. Comme $q < 0$, alors $q = -2$.

2) $V_n = V_0 \times q^n = 1 \times (-2)^n$.

👉 $V_n = (-2)^n$.

Exercice 4 (8 pts)

Soit $f(x)=2x^{3}+3x^{2}$.

1) Déterminer le domaine de définition $D_f$.

2) Calculer $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$.

3) Calculer les limites en $+\infty$ et $-\infty$.

4) Montrer que $f'(x)=6x(x+1)$.

5) Etudier le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$.

6) Montrer que la tangente en $x=1$ est $(T): y=12x-7$.

1) Domaine :

$f$ est une fonction polynôme, définie sur $\mathbb{R}$. $\implies D_f = \mathbb{R}$.

2) Images :

$f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 = -2 + 3 = 1$.

$f(0) = 0$.

$f(2) = 2(8) + 3(4) = 16 + 12 = 28$.

3) Limites :

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} 2x^3 = -\infty$.

4) Dérivée :

$f'(x) = 2(3x^2) + 3(2x) = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$.

5) Signe et Variations :

Les racines de $f'$ sont $0$ et $-1$.

Signe de $f'$ : Positif sur $]-\infty, -1[$ et $]0, +\infty[$. Négatif sur $]-1, 0[$.

$f$ est croissante sur $]-\infty, -1]$ et $[0, +\infty[$, décroissante sur $[-1, 0]$.

6) Tangente en $x=1$ :

$y = f'(1)(x-1) + f(1)$. Avec $f'(1) = 12$ et $f(1) = 5$.

$y = 12(x-1) + 5 = 12x - 12 + 5 = 12x - 7$.

👉 L'équation est bien $y=12x-7$.