Correction Examen Régional 2024

Académie : Tanger-Tétouan-Al Hoceïma

Région : Tanger-Tétouan-Al Hoceïma Niveau : 1ère BAC Lettres Durée : 1h30 Coeff : 2

Exercice 1 : Équations, Inéquations et Systèmes (6 pts)

1) a) Résoudre, dans \(\mathbb{R}\), l'équation : \(-4x^2 + 3x + 1 = 0\)

1) b) Résoudre, dans \(\mathbb{R}\), l'inéquation : \(-4x^2 + 3x + 1 \ge 0\)

2) Résoudre, dans \(\mathbb{R}^2\), le système : \(\begin{cases} 2x - 5y = -26 \\ -x + 2y = 11 \end{cases}\)

3) Un ballon coûte 220 Dh. Si son prix est augmenté de 10%, quel est son nouveau prix parmi ces réponses ? (a) 222 Dh (b) 210 Dh (c) 242 Dh (d) 250 Dh

1) a) Équation du second degré :

Calculons le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) avec \(a=-4, b=3, c=1\) :

\(\Delta = 3^2 - 4(-4)(1) = 9 + 16 = 25\).

Comme \(\Delta > 0\), l'équation admet deux solutions :

\(x_1 = \frac{-3 - 5}{-8} = \frac{-8}{-8} = 1\) et \(x_2 = \frac{-3 + 5}{-8} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}\).

S = { -1/4 ; 1 }

1) b) Inéquation :

Le coefficient \(a = -4\) est négatif. Le trinôme est donc positif ou nul entre les racines.

S = [ -1/4 ; 1 ]

2) Système :

De la 2ème équation, on tire \(x = 2y - 11\). Substituons dans la 1ère :

\(2(2y - 11) - 5y = -26 \implies 4y - 22 - 5y = -26 \implies -y = -4 \implies y = 4\).

Puis \(x = 2(4) - 11 = -3\).

S = { (-3 ; 4) }

3) Pourcentage :

Augmenter de 10% revient à multiplier par \(1 + 0.10 = 1.1\).

\(220 \times 1.1 = 242\).

Réponse : c) 242 Dh

Exercice 2 : Suites Numériques (4 pts)

Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite arithmétique de premier terme \(U_0 = 2\) vérifiant \(U_1 + U_2 = -5\).

1) Montrer que la raison de la suite est \(r = -3\).

2) Vérifier que \(U_n = 2 - 3n\).

3) Est-ce que 2024 est un terme de la suite ? Justifier.

4) a) Vérifier que \(U_{20} = -58\).

4) b) Calculer la somme \(S = U_2 + U_3 + \dots + U_{20}\).

1) Raison \(r\) :

On sait que \(U_1 = U_0 + r\) et \(U_2 = U_0 + 2r\).

Donc \(U_1 + U_2 = (U_0 + r) + (U_0 + 2r) = 2U_0 + 3r\).

Avec \(U_0 = 2\) et la somme valant -5 : \(2(2) + 3r = -5 \implies 4 + 3r = -5 \implies 3r = -9 \implies r = -3\).

2) Terme général :

Par définition, \(U_n = U_0 + n \cdot r\).

\(U_n = 2 + n(-3) = 2 - 3n\).

3) Terme 2024 ?

On cherche s'il existe un entier naturel \(n\) tel que \(2 - 3n = 2024\).

\(-3n = 2022 \implies n = -674\).

Comme \(n\) doit être un entier positif, 2024 n'est pas un terme de la suite.

4) b) Somme S :

La somme va de \(U_2\) à \(U_{20}\). Le nombre de termes est \(20 - 2 + 1 = 19\) termes.

Formule : \(S = \frac{19}{2}(U_2 + U_{20})\).

Calculons \(U_2 = 2 - 3(2) = -4\).

\(S = \frac{19}{2}(-4 - 58) = \frac{19}{2}(-62) = 19 \times -31 = -589\).

S = -589

Exercice 3 : Dénombrement (2 pts)

Dans une boulangerie, un panier contient 3 croissants et 4 pains au chocolat. Un client choisit 2 pièces simultanément.

1) Quel est le nombre de choix possibles ?

2) Quel est le nombre de possibilités d'avoir 1 croissant et 1 pain au chocolat ?

3) Quel est le nombre de choix possibles pour avoir "au plus un croissant" ?

Total d'articles = 3 + 4 = 7. On tire 2 pièces sans ordre (Combinaison \(C_n^k\)).

1) Nombre total de choix :

\(C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\).

Il y a 21 choix possibles.

2) Un croissant ET un pain :

Choisir 1 croissant parmi 3 ET 1 pain parmi 4.

\(C_3^1 \times C_4^1 = 3 \times 4 = 12\).

Il y a 12 possibilités.

3) "Au plus un croissant" :

Cela signifie : 0 croissant OU 1 croissant.

Cas A (0 croissant, donc 2 pains) : \(C_4^2 = 6\) choix.

Cas B (1 croissant) : C'est la réponse de la question 2, soit 12 choix.

Total = \(6 + 12 = 18\).

Il y a 18 choix possibles.

Exercice 4 : Étude de fonctions (8 pts)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -\frac{1}{4}x^3 - 2\).

1) a) Calculer \(f(0)\) et \(f(-2)\).

1) b) Calculer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\).

2) a) Vérifier que \(f'(x) = -\frac{3}{4}x^2\).

2) b) Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

2) c) Dresser le tableau de variations de \(f\).

2) d) Déterminer l'équation de la tangente (T) au point d'abscisse \(x_0 = -2\).

3) Déterminer, parmi deux courbes, celle qui représente \(f\).

1) Calculs et Limites :

\(f(0) = -2\).

\(f(-2) = -\frac{1}{4}(-8) - 2 = 2 - 2 = 0\).

\(\lim_{x \to +\infty} (-\frac{1}{4}x^3) = -\infty\).

\(\lim_{x \to -\infty} (-\frac{1}{4}x^3) = +\infty\).

2) Dérivée et Variations :

\(f'(x) = -\frac{1}{4}(3x^2) = -\frac{3}{4}x^2\).

Pour tout \(x \neq 0\), \(x^2 > 0\), donc \(-\frac{3}{4}x^2 < 0\). La dérivée est toujours négative ou nulle.

La fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

2) d) Tangente en -2 :

Formule : \(y = f'(-2)(x - (-2)) + f(-2)\).

\(f'(-2) = -\frac{3}{4}(4) = -3\).

\(y = -3(x + 2) + 0 \implies y = -3x - 6\).

3) Identification de la courbe :

La courbe correcte est celle qui est décroissante sur tout \(\mathbb{R}\) et qui passe par le point (0, -2).