Correction Examen Régional 2024 - Laâyoune Sakia El Hamra

Académie : Laâyoune Sakia El Hamra | Filière : Lettres et Sciences Humaines

Matière : Mathématiques

Session : Juin 2024

Coef : 1

Filière : Lettres et SH

Exercice 01 : Équations, Inéquations et Problème (6 pts)

1- On considère dans \(\mathbb{R}\) l'équation (E) : \(x^2 - 14x - 51 = 0\)

a- Montrer que le discriminant est : \(\Delta = 20^2\) (0,5 pt)
b- Déterminer dans \(\mathbb{R}\) les solutions de l'équation (E). (1 pt)
c- Vérifier que : \(x^2 - 14x - 51 = (x+3)(x-17)\) (0,5 pt)
d- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation : \(x^2 - 14x - 51 \le 0\) (1 pt)

2- a- Résoudre dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) le système :

\(\begin{cases} 2x + y = 11 \\ x + 3y = 18 \end{cases}\)

b- Ahmed a payé 11 dh pour 2 stylos et 1 cahier. Khaled a payé 18 dh pour 3 cahiers et 1 stylo. Quel est le prix du cahier et du stylo ? (1 pt)
c- Ahmed a dépensé 22% de son argent pour cet achat. De combien d'argent disposait-il ? (1 pt)

1.a) Discriminant :

\(\Delta = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(-51) = 196 + 204 = 400\).

Or \(400 = 20^2\), donc \(\mathbf{\Delta = 20^2}\).

1.b) Solutions de (E) :

\(x_1 = \frac{14 - 20}{2} = -3\) et \(x_2 = \frac{14 + 20}{2} = 17\).

\(S = \{-3 ; 17\}\)

1.c) Factorisation :

\((x+3)(x-17) = x^2 - 17x + 3x - 51 = x^2 - 14x - 51\). Vérifié.

1.d) Inéquation :

Le coefficient \(a=1\) est positif, donc le trinôme est négatif ou nul entre les racines.

\(S = [-3 ; 17]\)

2.a) Système :

Par substitution (de la 1ère équation) : \(y = 11 - 2x\).

Dans la 2ème : \(x + 3(11 - 2x) = 18 \implies x + 33 - 6x = 18 \implies -5x = -15 \implies x = 3\).

Puis \(y = 11 - 2(3) = 5\).

\(S = \{(3 ; 5)\}\)

2.b) Prix :

Ce problème correspond au système résolu en 2.a. Donc le prix du stylo est 3 DH et le prix du cahier est 5 DH.

2.c) Argent total :

Ahmed a dépensé 11 DH, ce qui représente 22% de son argent.

\(\frac{11 \times 100}{22} = 50\).

Ahmed disposait de 50 DH.

Exercice 02 : Suites Numériques (4 pts)

Soit \((U_n)\) définie par : \(U_n = 6n - 166\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Calculer \(U_{11}\) et \(U_{61}\). (1 pt)
Montrer que \((U_n)\) est arithmétique de raison \(r = 6\). (1 pt)
Vérifier que : \(S = U_{11} + U_{12} + \dots + U_{61} = 2550\). (1 pt)
2024 est-il un terme de la suite ? Justifier. (1 pt)

1) Calculs :

\(U_{11} = 6(11) - 166 = 66 - 166 = -100\).

\(U_{61} = 6(61) - 166 = 366 - 166 = 200\).

2) Raison :

\(U_{n+1} - U_n = [6(n+1) - 166] - [6n - 166]\)

\(= 6n + 6 - 166 - 6n + 166 = 6\).

La différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison \(\mathbf{r = 6}\).

3) Somme S :

Nombre de termes : \(n = 61 - 11 + 1 = 51\).

\(S = \frac{51}{2}(U_{11} + U_{61}) = \frac{51}{2}(-100 + 200) = \frac{51 \times 100}{2} = 2550\).

4) Terme 2024 :

Résolvons \(6n - 166 = 2024 \implies 6n = 2190 \implies n = 365\).

Comme 365 est un entier naturel, 2024 est bien un terme de la suite (\(U_{365}\)).

Exercice 03 : Dénombrement (2 pts)

Une boîte contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire deux boules de cette boîte successivement et sans remise.

Construire l'arbre des possibilités, en soutenant ses branches avec des chiffres. (1 pt)
Montrer que le nombre de tirages possibles pour obtenir deux boules de couleurs différentes est de 30. (1 pt)

1) Arbre des possibilités :

Le premier tirage peut être Rouge (5 boules) ou Vert (3 boules). Le second tirage dépend de ce qui a été tiré.

Cas 1 : (R, R)

\(5 \times 4 = 20\)

Cas 2 : (R, V)

\(5 \times 3 = 15\)

Cas 3 : (V, R)

\(3 \times 5 = 15\)

Cas 4 : (V, V)

\(3 \times 2 = 6\)

2) Couleurs différentes :

Pour obtenir deux couleurs différentes, il y a deux cas possibles :

Cas 1 : Tirer une Rouge puis une Verte : \(5 \times 3 = 15\).
Cas 2 : Tirer une Verte puis une Rouge : \(3 \times 5 = 15\).

Total = \(15 + 15 = \mathbf{30}\).

Il y a bien 30 tirages possibles de couleurs différentes.

Exercice 04 : Étude de Fonction (8 pts)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} - \{1\}\) par : \(f(x) = \frac{3x - 4}{x - 1}\).

Calculer \(f(2)\) et \(f(0)\). (1 pt)
Calculer \(\lim_{x \to 1} f(x)\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\). (2 pts)
a. Montrer que \(f'(x) = \frac{1}{(x-1)^2}\) pour tout \(x \ne 1\). (1,5 pts)
b. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). (1,5 pts)
Montrer que : \(y = x\) est l'équation de la tangente au point \(A(2 ; f(2))\). (1 pt)
Sélectionner la courbe correcte parmi les figures. (1 pt)

Figure A

Figure B

Figure C

1) Images :

\(f(2) = \frac{3(2)-4}{2-1} = \frac{2}{1} = 2\).

\(f(0) = \frac{3(0)-4}{0-1} = \frac{-4}{-1} = 4\).

2) Limites :

\(\lim_{x \to 1} f(x) = \infty\) (limite verticale, asymptote \(x=1\)).

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x} = 3\) (limite horizontale, asymptote \(y=3\)).

3.a) Dérivée :

Formule de la dérivée d'un quotient : \(f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

Avec \(u = 3x-4 \implies u'=3\) et \(v = x-1 \implies v'=1\).

\(f'(x) = \frac{3(x-1) - 1(3x-4)}{(x-1)^2} = \frac{3x - 3 - 3x + 4}{(x-1)^2} = \frac{1}{(x-1)^2}\).

3.b) Tableau de variations :

Pour tout \(x \ne 1\), \(f'(x) > 0\) (car le numérateur est positif et le dénominateur au carré est toujours positif).

La fonction est donc strictement croissante sur \(]-\infty ; 1[\) et sur \(]1 ; +\infty[\).

4) Tangente :

Équation : \(y = f'(2)(x-2) + f(2)\).

\(f'(2) = \frac{1}{(2-1)^2} = 1\) et \(f(2) = 2\).

\(y = 1(x-2) + 2 = x - 2 + 2 \implies \mathbf{y = x}\).

5) Courbe :

La courbe correcte doit posséder les asymptotes \(x=1\) et \(y=3\), passer par le point \(A(2;2)\) et être croissante sur ses deux intervalles.