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Royaume du Maroc - Ministère de l'Éducation Nationale

Examen Régional Mathématiques 2024

Académie Régionale : Rabat-Salé-Kénitra

2024
Session Normale
Lettres et Sciences Humaines
Matière
Mathématiques
Durée
2 Heures
Coefficient
1

1 Exercice 1 (6 pts)

  1. a- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(E) : 2x^2 - 5x + 2 = 0$ (1.5 pt)
  2. b- En déduire l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation : $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$ (1.5 pt)
  3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système : $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - y = 4 \end{cases}$ (2 pts)
  4. Le prix d'un article a augmenté de 20% pour atteindre 360 DH. Quel était son prix initial ? (1 pt)

1.a) Équation :
Calcul du discriminant $\Delta = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$.
$\Delta > 0 \Rightarrow$ deux solutions :
$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ et $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.
$S = \{ \frac{1}{2} ; 2 \}$.

1.b) Inéquation :
Le coefficient dominant $a=2$ est positif. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
$S = ]-\infty ; \frac{1}{2}] \cup [2 ; +\infty[$.

2) Système :
De la 2ème équation : $x = y + 4$.
Substitution dans la 1ère : $3(y+4) + 2y = 7 \Rightarrow 5y + 12 = 7 \Rightarrow 5y = -5 \Rightarrow y = -1$.
$x = -1 + 4 = 3$.
$S = \{ (3 ; -1) \}$.

3) Prix initial :
Soit $P$ le prix initial. $P \times 1.20 = 360 \Rightarrow P = \frac{360}{1.20} = 300$ DH.

2 Exercice 2 (4 pts)

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 11$ et $u_7 = 27$.

  1. Montrer que la raison $r = 4$ et calculer le premier terme $u_0$. (1.5 pt)
  2. Vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 4n - 1$. (1 pt)
  3. Le nombre 47 est-il un terme de cette suite ? Justifier. (0.5 pt)
  4. Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{12}$. (1 pt)

1) Raison et premier terme :
$u_7 = u_3 + (7-3)r \Rightarrow 27 = 11 + 4r \Rightarrow 4r = 16 \Rightarrow r = 4$.
$u_3 = u_0 + 3r \Rightarrow 11 = u_0 + 12 \Rightarrow u_0 = -1$.

2) Expression générale :
$u_n = u_0 + nr = -1 + 4n = 4n - 1$. (Vérifié).

3) Appartenance de 47 :
$4n - 1 = 47 \Rightarrow 4n = 48 \Rightarrow n = 12$.
$12 \in \mathbb{N}$, donc oui, 47 est le terme $u_{12}$.

4) Somme :
Nombre de termes = $12 - 0 + 1 = 13$.
$S = \frac{13}{2}(u_0 + u_{12}) = \frac{13}{2}(-1 + 47) = \frac{13 \times 46}{2} = 13 \times 23 = 299$.

3 Exercice 3 (2 pts)

Une urne contient 4 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement et sans remise 2 boules.

  1. Montrer que le nombre de tirages possibles est 42. (0.5 pt)
  2. Calculer le nombre de tirages où les deux boules sont rouges. (0.75 pt)
  3. Calculer le nombre de tirages où les deux boules sont de couleurs différentes. (0.75 pt)

1) Tirages possibles :
Total de boules = $4 + 3 = 7$. Tirage successif sans remise $\Rightarrow$ Arrangement.
$A_7^2 = 7 \times 6 = 42$.

2) Deux boules rouges :
On choisit 2 parmi 4 rouges : $A_4^2 = 4 \times 3 = 12$.

3) Couleurs différentes :
Cas 1 : (Rouge, Bleue) $\Rightarrow 4 \times 3 = 12$.
Cas 2 : (Bleue, Rouge) $\Rightarrow 3 \times 4 = 12$.
Total = $12 + 12 = 24$.

4 Exercice 4 : Étude de fonction (8 pts)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = -x^2 + 4x - 1$.

  1. Calculer $f(0)$, $f(2)$ et $f(4)$. (1 pt)
  2. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. (1 pt)
  3. a- Montrer que $f'(x) = -2x + 4$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. (1 pt)
  4. b- Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$. (1.5 pts)
  5. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $1$. (1.5 pts)
  6. Tracer la courbe $(C_f)$ et la tangente $(T)$ dans un repère orthonormé. (2 pts)

1) Images :
$f(0) = -1$ | $f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$ | $f(4) = -16 + 16 - 1 = -1$.

2) Limites :
Fonction polynôme du 2nd degré avec $a = -1 < 0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$.

3.a) Dérivée :
$f'(x) = (-x^2)' + (4x)' - (1)' = -2x + 4$.

3.b) Variations :
$f'(x) = 0 \iff -2x + 4 = 0 \iff x = 2$.
$f'(x) > 0$ sur $]-\infty ; 2[$ (fonction croissante).
$f'(x) < 0$ sur $]2 ; +\infty[$ (fonction décroissante).
Maximum en $x=2$ : $f(2) = 3$.

4) Tangente en $x=1$ :
$f(1) = -1 + 4 - 1 = 2$ et $f'(1) = -2(1) + 4 = 2$.
Équation : $y = f'(1)(x-1) + f(1) \Rightarrow y = 2(x-1) + 2 \Rightarrow y = 2x$.

5) Tracé :
Parabole concave (ouverte vers le bas), sommet en $(2, 3)$, passe par $(0, -1)$ et $(4, -1)$. Tangente $y=2x$ passant par l'origine et touchant la courbe en $(1, 2)$.

Conseils pour réussir votre examen :

  • 📐 Maîtrisez les formules de base : Discriminant, dérivées, suites et probabilités sont les piliers de cette épreuve.
  • ⏱️ Gestion du temps : Commencez par les exercices où vous vous sentez le plus à l'aise pour sécuriser des points rapidement.
  • 📝 Justifiez vos réponses : Même si le résultat final est faux, des étapes de calcul correctes peuvent vous rapporter des points partiels.

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Avertissement : Ces corrections sont fournies à titre indicatif pour aider à la préparation. Nous vous recommandons de toujours vérifier vos résultats et de suivre les conseils de votre enseignant.