Examen Régional Math 2023 - Souss Massa

Analyse 1 :
Limite d'un polynôme en \(-\infty\). On garde le terme de plus haut degré : \(\lim_{x \to -\infty} 3x^2 = 3(-\infty)^2 = +\infty\).
Réponse : D

Analyse 2 :
Limite d'une fonction rationnelle en \(+\infty\). On garde le rapport des plus hauts degrés : \(\frac{2x^3}{x^3} = 2\).
Réponse : C

Analyse 3 :
Dérivée de \(\frac{ax+b}{cx+d}\). Formule : \(\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\).
\(a=3, b=1, c=2, d=1\).
\(f'(x) = \frac{3(1) - 1(2)}{(2x+1)^2} = \frac{1}{(2x+1)^2}\).
Réponse : C

Analyse 4 :
Par définition, le coefficient directeur de la tangente en un point \(a\) est le nombre dérivé \(f'(a)\).
Réponse : B

Question 1 :
Échelle \(\frac{1}{100}\) signifie \(1 cm\) (plan) = \(100 cm\) (réel).
Longueur réelle = \(4 \times 100 = 400 cm = 4 m\).
Largeur réelle = \(3 \times 100 = 300 cm = 3 m\).

Question 2 :
Développons \((2x-3)(2x+3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9\).
L'équation devient : \(4x^2 - 9 = 4x^2 + 2x + 1\).
On élimine \(4x^2\) : \(-9 = 2x + 1 \implies 2x = -10 \implies x = -5\).
Solution : S = {-5}

Question 3 :
Développons : \(x^2 - 2x \ge x^2 + 4\).
Simplifions par \(x^2\) : \(-2x \ge 4\).
En divisant par \(-2\) (attention, on change le sens) : \(x \le \frac{4}{-2} \implies x \le -2\).
Solution : S = ]-\infty ; -2]

Question 4.a :
Par substitution : \(x = 30 - y\).
Remplaçons dans (2) : \(-4(30 - y) + 3y = 20 \implies -120 + 4y + 3y = 20 \implies 7y = 140 \implies y = 20\).
D'où \(x = 30 - 20 = 10\).
Solution : S = {(10, 20)}

Question 4.b :
Périmètre \(2(L+l) = 60 \implies L+l=30 \implies L = 30-l\).
Nouvelle aire = \((l+3)(L-4) = L \cdot l + 8\).
\((l+3)(30-l-4) = l(30-l) + 8\)
\((l+3)(26-l) = 30l - l^2 + 8\)
\(26l - l^2 + 78 - 3l = 30l - l^2 + 8\)
\(-l^2 + 23l + 78 = -l^2 + 30l + 8\)
\(23l + 78 = 30l + 8 \implies 7l = 70 \implies l = 10\).
Donc \(L = 20\).
Dimensions : Largeur = 10 m, Longueur = 20 m

1) Arbre de choix :

2) Tirages sans Bleu (B) :
On regarde les chemins ne contenant pas B : (R,V) et (V,R).
Nombre de tirages = 2.
(Calcul mathématique : On tire 2 parmi {R, V} sans remise : \(A_2^2 = 2 \times 1 = 2\)).

1) Calcul de la raison (r) :
Pour une suite arithmétique, la formule générale est : \(u_n = u_p + (n-p)r\).
Utilisons \(n=10\) et \(p=2\) :
\(u_{10} = u_2 + (10 - 2)r\)
\(102 = 14 + 8r\)
\(8r = 102 - 14 \implies 8r = 88\)
\(r = \frac{88}{8} = \mathbf{11}\). (La raison est bien 11).

2) Expression de \(u_n\) et calcul de \(u_0\) :
On sait que \(u_n = u_0 + n \times r\).
Pour trouver \(u_0\), utilisons \(u_2 = 14\) :
\(14 = u_0 + 2 \times 11 \implies 14 = u_0 + 22\)
\(u_0 = 14 - 22 = \mathbf{-8}\).
L'expression générale est donc : \(u_n = u_0 + n \times r \implies \mathbf{u_n = -8 + 11n}\) (ou \(11n - 8\)).

3) Est-ce que 179 est un terme de la suite ?
On résout l'équation \(u_n = 179\) :
\(11n - 8 = 179\)
\(11n = 179 + 8\)
\(11n = 187\)
\(n = \frac{187}{11} = \mathbf{17}\).
Comme 17 est un nombre entier naturel, alors 179 est bien le 17ème terme de la suite (\(u_{17}\)).

Tableau récapitulatif des premiers termes :

1) Dérivée :
\(u=2x+3, v=x+3 \implies u'=2, v'=1\).
\(f'(x) = \frac{2(x+3) - 1(2x+3)}{(x+3)^2} = \frac{2x+6-2x-3}{(x+3)^2} = \frac{3}{(x+3)^2}\).

2) Tableau de Variations :
Puisque \(3 > 0\) et \((x+3)^2 > 0\), \(f'(x) > 0\), donc \(f\) est croissante sur les intervalles de définition.

3) Analyse Graphique :
a) Sur \([-\frac{3}{2}; 0]\), la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (car \(f(-1.5)=0\) et \(f(0)=1\)). Donc f est positive (\(f(x) \ge 0\)).
b) La droite \(y=3\) coupe la courbe une seule fois (car la fonction est strictement croissante et bijective sur chaque intervalle). 1 solution.
c) Asymptote verticale : x = -3 (la droite où la fonction n'est pas définie).
Asymptote horizontale : Limite à l'infini est le rapport des coefficients de plus haut degré (\(2/1\)). Donc y = 2.