Correction Examen Régional Math 2024

1) Équation :
Calcul du discriminant $\Delta$. $a = 2, b = -1, c = -1$.
$\Delta = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$.
Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions :
$x_1 = \frac{1-3}{4} = -0.5$ et $x_2 = \frac{1+3}{4} = 1$.
$S = \{-0.5 ; 1\}$

2) Inéquation :
On utilise les racines trouvées. Le signe de $2x^2-x-1$ est négatif (ou nul) entre les racines car $a=2 > 0$.
$S = [-0.5 ; 1]$

3) Système :
Par addition des deux équations :
$(x+y) + (x-y) = 4 + 2 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
En remplaçant $x$ par 3 dans la première équation :
$3 + y = 4 \Rightarrow y = 1$.
$S = \{(3 ; 1)\}$

Solution :
Montant de l'augmentation : $1500 \times \frac{25}{100} = 375$ DH.
Nouveau prix : $1500 + 375 = 1875$ DH.
Le nouveau prix est 1875 DH.

1) Domaine et images :
$D_f = \mathbb{R}$ (Fonction polynôme).
$f(0) = 2(0)^2 - 2 = -2$.
$f(1) = 2(1)^2 - 2 = 0$.
$f(-1) = 2(-1)^2 - 2 = 0$.

2) Limites :
$\lim_{x\to \pm\infty} 2x^2-2 = +\infty$.

3) Dérivée et variations :
$f'(x) = 2 \times (2x) = 4x$.
Si $x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$ ($f$ est décroissante).
Si $x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ ($f$ est croissante).

4) Tangente :
$y = f'(1)(x-1) + f(1)$.
$f'(1) = 4(1) = 4$ et $f(1) = 0$.
$y = 4(x-1) + 0 \Rightarrow y = 4x - 4$.

1.a) Nature de la suite :
$u_{n+1}-u_n = (5(n+1)+1) - (5n+1) = 5n+5+1-5n-1 = 5$.
C'est une suite arithmétique de raison $r=5$.

1.b) Calculs :
$u_1 = 5(1)+1 = 6$.
$u_{40} = 5(40)+1 = 201$.
Somme = $\text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier} + \text{Dernier}}{2} = 40 \times \frac{6+201}{2} = 4140$.

2.a) Expression :
$v_n = v_0 \times q^n = -8 \times 3^n$.

2.b) Somme :
$v_1 = -8 \times 3 = -24$.
Somme = $v_1 \times \frac{1-q^{10}}{1-q} = -24 \times \frac{1-3^{10}}{1-3} = -24 \times \frac{1-59049}{-2} = -708576$.

1) Total :
$C_{5}^{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

2) Blanche et Noire :
$C_{3}^{1} \times C_{2}^{1} = 3 \times 2 = 6$.

3) Même couleur :
(2 Blanches) OU (2 Noires).
$C_{3}^{2} + C_{2}^{2} = 3 + 1 = 4$.