Correction Examen Régional Maths 2024

1) a- Équation \(2x^2-5x+2=0\) :
Calculons le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9\).
Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions: \(x_1 = \frac{5-\sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2}\) et \(x_2 = \frac{5+\sqrt{9}}{4} = 2\). \(S = \{ \frac{1}{2}, 2 \}\).

b- Inéquation \(2x^2-5x+2 \ge 0\) :
Tableau de signe: le coefficient \(a=2\) est positif, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
Donc \(2x^2-5x+2 \ge 0\) sur \( ]-\infty, 1/2] \cup [2, +\infty[ \).

2) Système d'équations :
Par substitution : De la 2ème équation: \(y = 1 - 2x\). On remplace dans la 1ère:
\(5x + 3(1-2x) = -2 \Rightarrow 5x + 3 - 6x = -2 \Rightarrow -x = -5 \Rightarrow x = 5\).
D'où \(y = 1 - 2(5) = -9\). Le couple solution est \((5, -9)\).

3) Problème du robinet :
Règle de trois: 5L \(\rightarrow\) 60 min. 1.5L \(\rightarrow T\).
\(T = \frac{1.5 \times 60}{5} = \frac{90}{5} = 18\) minutes.

1) Ensemble de définition :
\(f\) est une fonction polynôme (du second degré), donc elle est définie sur tout \(\mathbb{R}\). \(D_f = \mathbb{R}\).

2) Calcul des images :
\(f(0) = -4\).
\(f(-4) = \frac{1}{2}(-4)^2 + (-4) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0\).
\(f(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 - 4 = 2 + 2 - 4 = 0\).

3) Limites à l'infini :
\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{2}x^2 = +\infty\).

4) Étude des variations :
a- Dérivée : \(f'(x) = \frac{1}{2}(2x) + 1 = x+1\).
b- Signe de \(f'(x)\) : \(x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\). Donc \(f\) est croissante sur \([-1, +\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty, -1]\).
c- Tableau de variations : Flèche descendante vers le minimum en \(x=-1\) où \(f(-1)=-4.5\), puis flèche montante.

5) Construction de la courbe :
Les points à placer sont : \((-4, 0), (0, -4), (2, 0), (-1, -4.5)\). La courbe est une parabole tournée vers le haut (coeff de \(x^2\) positif).

1) Calculs :
\(u_0 = 4(0) - 3 = -3\).
\(u_{20} = 4(20) - 3 = 80 - 3 = 77\).

2) Nature de la suite :
Calculons la différence : \(u_{n+1} - u_n = [4(n+1)-3] - [4n-3] = 4n+4-3-4n+3 = 4\).
La différence est constante et égale à 4. Donc \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r=4\).

3) Vérification du terme 157 :
On résout \(4n - 3 = 157 \Rightarrow 4n = 160 \Rightarrow n = 40\).
Comme \(40 \in \mathbb{N}\), 157 est bien un terme de la suite, c'est le terme \(u_{40}\).

4) Calcul de la somme :
Formule : \(S = \frac{\text{nb termes}}{2} \times (u_{\text{premier}} + u_{\text{dernier}})\).
Nombre de termes de 0 à 20 = 21. \(S = \frac{21}{2} \times (-3 + 77) = \frac{21}{2} \times 74 = 21 \times 37 = 777\).

Analyse de l'expérience :
Total de boules : \(4 + 3 + 1 = 8\) boules.
Tirage successif sans remise de 2 boules parmi 8 : Arrangement \(A_8^2\).

1) Nombre de tirages possibles :
\(A_8^2 = 8 \times 7 = 56\).

2) Tirer deux boules de même couleur :
Même couleur signifie (2 rouges OU 2 vertes). La bleue est unique, donc impossible d'en tirer 2.
\(A_4^2 + A_3^2 = (4 \times 3) + (3 \times 2) = 12 + 6 = 18\).
Il y a 18 possibilités.