الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا

Éléments de Réponse & Correction :

1) Calcul des termes :
$u_1 = \frac{2}{5}u_0 - 1 = \frac{2}{5}(5) - 1 = 2 - 1 = 1$.
$u_2 = \frac{2}{5}u_1 - 1 = \frac{2}{5}(1) - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}$.

2) a) Récurrence :
• Pour $n=0$, $u_0 = 5 > -\frac{5}{3}$ (Vrai).
• Supposons que $u_n > -\frac{5}{3}$ pour un entier $n$ fixé, et montrons que $u_{n+1} > -\frac{5}{3}$.
On a : $u_n > -\frac{5}{3} \implies \frac{2}{5}u_n > \frac{2}{5}\left(-\frac{5}{3}\right) \implies \frac{2}{5}u_n > -\frac{2}{3}$
$\implies \frac{2}{5}u_n - 1 > -\frac{2}{3} - 1 \implies u_{n+1} > -\frac{5}{3}$.
• Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N},\; u_n > -\frac{5}{3}$.

2) b) Différence et Monotonie :
$u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5}u_n - 1 - u_n = -\frac{3}{5}u_n - 1 = -\frac{3}{5}\left(u_n + \frac{5}{3}\right)$.
Puisque $u_n > -\frac{5}{3}$, on a $u_n + \frac{5}{3} > 0$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est décroissante.

2) c) Convergence :
La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et minorée par $-\frac{5}{3}$, elle est donc convergente.

3) a) Suite Géométrique :
$v_{n+1} = u_{n+1} + \frac{5}{3} = \frac{2}{5}u_n - 1 + \frac{5}{3} = \frac{2}{5}u_n + \frac{2}{3} = \frac{2}{5}\left(u_n + \frac{5}{3}\right) = \frac{2}{5}v_n$.
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{2}{5}$.

3) b) Premier terme :
$v_0 = u_0 + \frac{5}{3} = 5 + \frac{5}{3} = \frac{20}{3}$.

3) c) Expression de $v_n$ :
$\forall n \in \mathbb{N},\; v_n = v_0 \times q^n = \frac{20}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n$.

3) d) Expression de $u_n$ :
Comme $v_n = u_n + \frac{5}{3}$, on en déduit que $u_n = v_n - \frac{5}{3} = \frac{20}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n - \frac{5}{3}$.

3) e) Limite de la suite :
Comme $-1 < \frac{2}{5} < 1$, $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0$, donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\frac{5}{3}$.

Éléments de Réponse & Correction :

Le tirage est simultané de 3 boules parmi 9. Le nombre de cas possibles est :

1) Probabilité de A (Même numéro) :
Les numéros disponibles sont : trois '1', de multiples '2' (4 boules) et deux '3'.
• Choisir trois boules portant le numéro 1 : $C_3^3 = 1$.
• Choisir trois boules portant le numéro 2 : $C_4^3 = 4$.
• Impossible de tirer trois boules portant le numéro 3 (seulement 2 disponibles).
$\text{card}(A) = C_3^3 + C_4^3 = 1 + 4 = 5 \implies p(A) = \frac{5}{84}$.

2) Probabilité de B (Couleurs tricolores V, R, B) :
On doit choisir 1 boule verte parmi 3, 1 rouge parmi 3, et 1 blanche parmi 3 :
$\text{card}(B) = C_3^1 \times C_3^1 \times C_3^1 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.
$p(B) = \frac{27}{84} = \frac{9}{28}$.

3) Probabilité de $A \cap B$ :
L'événement $A \cap B$ signifie : "Les 3 boules ont le même numéro ET sont de couleurs différentes".
• Même numéro = 1 : Il y a une seule verte(1), une seule rouge(1) et une seule blanche(1). Donc $1 \times 1 \times 1 = 1$ possibilité.
• Même numéro = 2 : Il y a une verte(2), une rouge(2) et deux blanches(2). Donc $1 \times 1 \times C_2^1 = 2$ possibilités.
$\text{card}(A \cap B) = 1 + 2 = 3 \implies p(A \cap B) = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}$.

4) Calcul de $p(A \cup B)$ :
Utilisons la formule classique : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
$p(A \cup B) = \frac{5}{84} + \frac{27}{84} - \frac{3}{84} = \frac{29}{84}$.

Éléments de Réponse & Correction :

1) a) Limites aux bornes :
• Quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$, donc $\frac{1}{\ln x} \to 0$. D'où $\lim_{x \to 0} h(x) = \frac{1+0}{1-0} = 1$.
• Quand $x \to +\infty$, $\ln x \to +\infty$, donc $\frac{1}{\ln x} \to 0$. D'où $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \frac{1+0}{1-0} = 1$.

1) b) Limites en $e$ :
Le numérateur $\ln e + 1 = 2 > 0$. Le dénominateur s'annule en $e$.
• Pour $x \to e^-$, $\ln x < 1 \implies \ln x - 1 \to 0^-$, donc $\lim_{x \to e^-} h(x) = -\infty$.
• Pour $x \to e^+$, $\ln x > 1 \implies \ln x - 1 \to 0^+$, donc $\lim_{x \to e^+} h(x) = +\infty$.

2) a) Calcul de la dérivée :
En utilisant la formule $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ :
$h'(x) = \frac{\left(\frac{1}{x}\right)(\ln x - 1) - (\ln x + 1)\left(\frac{1}{x}\right)}{(\ln x - 1)^2} = \frac{\frac{1}{x}(\ln x - 1 - \ln x - 1)}{(\ln x - 1)^2} = \frac{-2}{x(\ln x - 1)^2}$.

2) b) Signe et Variations :
Puisque $x > 0$ et $(\ln x - 1)^2 > 0$, alors $h'(x) < 0$ pour tout $x \in D$. La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $]0;e[$ et sur $]e;+\infty[$.
$h\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{\ln(e^{-1})+1}{\ln(e^{-1})-1} = \frac{-1+1}{-1-1} = 0$.

2) c) Déductions graphiques :
i. $h(x) \le 0$ : Sur l'intervalle $]0;e[$, la fonction descend de $1$ à $-\infty$ en passant par $0$ à la valeur $x = \frac{1}{e}$. Donc l'ensemble des solutions est $S = \left[\frac{1}{e}; e\right[$.
ii. Image de l'intervalle : $h(]0;e[) = ]-\infty; 1[$.

Éléments de Réponse & Correction :

1) Images simples :
$g(1) = \ln(1) = 0$.
$f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$.
$f(3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.

2) a) Intégration par parties :
Posons $u(x) = \ln x \implies u'(x) = \frac{1}{x}$ et $v'(x) = 1 \implies v(x) = x$.
$\int_{1}^{2} \ln x \, dx = [x\ln x]_1^2 - \int_{1}^{2} x \cdot \frac{1}{x} \, dx = (2\ln 2 - 0) - [x]_1^2 = 2\ln 2 - (2 - 1) = 2\ln 2 - 1$.

2) b) Calcul direct de l'intégrale :
$\int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^2$
$= \left(\frac{8}{3} - 8 + 6\right) - \left(\frac{1}{3} - 2 + 3\right) = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}$.

2) c) Calcul de l'aire :
Sur l'intervalle $[1;2]$, la courbe de $g$ est au-dessus de la courbe de $f$ ($g(x) \ge f(x)$). L'aire vaut :
$\mathcal{A} = \int_{1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{1}^{2} \ln x \, dx - \int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 3) \, dx$
$\mathcal{A} = (2\ln 2 - 1) - \left(-\frac{2}{3}\right) = 2\ln 2 - 1 + \frac{2}{3} = 2\ln 2 - \frac{1}{3} \; \text{u.a.}$.