الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا

Éléments de Réponse & Correction :

1) Calcul des termes :
$u_1 = \frac{2(1) - 9}{1 - 4} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$.
$u_2 = \frac{2(7/3) - 9}{(7/3) - 4} = \frac{14/3 - 27/3}{7/3 - 12/3} = \frac{-13/3}{-5/3} = \frac{13}{5}$.

2) a) Récurrence ($u_n < 3$) :
• Pour $n=0$, $u_0 = 1 < 3$ (Vrai).
• Supposons $u_n < 3$ et montrons que $u_{n+1} < 3$.
On calcule $u_{n+1} - 3 = \frac{2u_n - 9 - 3(u_n - 4)}{u_n - 4} = \frac{2u_n - 9 - 3u_n + 12}{u_n - 4} = \frac{-u_n + 3}{u_n - 4} = \frac{3 - u_n}{u_n - 4}$.
Puisque $u_n < 3$, le numérateur $3 - u_n > 0$ et le dénominateur $u_n - 4 < -1 < 0$. Le rapport est donc négatif, d'où $u_{n+1} < 3$.

2) b) Formule de la différence :
$u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n - 9}{u_n - 4} - u_n = \frac{2u_n - 9 - u_n^2 + 4u_n}{u_n - 4} = \frac{-u_n^2 + 6u_n - 9}{u_n - 4} = \frac{-(u_n^2 - 6u_n + 9)}{u_n - 4} = \frac{(u_n - 3)^2}{4 - u_n}$.

2) c) Monotonie :
Puisque $u_n < 3 < 4$, alors $4 - u_n > 0$ et $(u_n - 3)^2 \ge 0$. Par conséquent, $u_{n+1} - u_n \ge 0$, la suite $(u_n)$ est donc croissante.

2) d) Convergence :
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3, elle est donc convergente.

3) a) Calcul de $v_0$ :
$v_0 = \frac{1 - 4}{1 - 3} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$.

3) b) Formule de $v_{n+1}$ :
$v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 4}{u_{n+1} - 3} = \frac{\frac{2u_n - 9}{u_n - 4} - 4}{\frac{2u_n - 9}{u_n - 4} - 3} = \frac{2u_n - 9 - 4u_n + 16}{2u_n - 9 - 3u_n + 12} = \frac{-2u_n + 7}{-u_n + 3} = \frac{2u_n - 7}{u_n - 3}$.

3) c) Suite arithmétique :
$v_{n+1} - v_n = \frac{2u_n - 7}{u_n - 3} - \frac{u_n - 4}{u_n - 3} = \frac{2u_n - 7 - u_n + 4}{u_n - 3} = \frac{u_n - 3}{u_n - 3} = 1$.
$(v_n)$ est arithmétique de raison $r = 1$.

3) d) Expression de $v_n$ :
$v_n = v_0 + n \cdot r = \frac{3}{2} + n$.

4) a) Expression de $u_n$ en fonction de $v_n$ :
$v_n = \frac{u_n - 4}{u_n - 3} \implies v_n(u_n - 3) = u_n - 4 \implies v_n u_n - 3v_n = u_n - 4$
$\implies u_n(v_n - 1) = 3v_n - 4 \implies u_n = \frac{3v_n - 4}{v_n - 1}$.

4) b) Expression explicite :
$u_n = \frac{3(\frac{3}{2} + n) - 4}{(\frac{3}{2} + n) - 1} = \frac{\frac{9}{2} + 3n - 4}{\frac{3}{2} + n - 1} = \frac{3n + \frac{1}{2}}{n + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{6n + 1}{2}}{\frac{2n + 1}{2}} = \frac{6n + 1}{2n + 1}$.

4) c) Limite de $u_n$ :
$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{6n}{2n} = 3$.

Éléments de Réponse & Correction :

Le nombre total d'exercices est $5 + 3 + 2 = 10$. On tire simultanément 3 exercices parmi 10 :

1) Probabilité de A (Que des exercices d'algèbre) :
L'élève choisit 3 exercices parmi les 5 d'algèbre :
$\text{card}(A) = C_5^3 = 10 \implies p(A) = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$.

2) Probabilité de B (Un exercice de chaque domaine) :
L'élève choisit 1 exercice d'algèbre parmi 5, 1 d'analyse parmi 3, et 1 de géométrie parmi 2 :
$\text{card}(B) = C_5^1 \times C_3^1 \times C_2^1 = 5 \times 3 \times 2 = 30$.
$p(B) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}$.

3) Probabilité de C (Un seul exercice de géométrie) :
L'élève choisit 1 exercice de géométrie parmi 2, et 2 exercices parmi les autres domaines (8 restants) :
$\text{card}(C) = C_2^1 \times C_8^2 = 2 \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 2 \times 28 = 56$.
$p(C) = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$.

Éléments de Réponse & Correction :

1) Images simples :
$f(e) = 1 - \ln(e) = 1 - 1 = 0$.
$g(\sqrt{e}) = \ln(\sqrt{e}) = \frac{1}{2}\ln(e) = \frac{1}{2}$.

2) Intersection de $(C_f)$ et $(C_g)$ :
On résout $f(x) = g(x) \implies 1 - \ln x = \ln x \implies 2\ln x = 1 \implies \ln x = \frac{1}{2} \implies x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.
L'ordonnée est $g(\sqrt{e}) = \frac{1}{2}$. Le point d'intersection a pour coordonnées $\left(\sqrt{e}; \frac{1}{2}\right)$.

3) a) Intégration par parties de $g(x)$ :
Posons $u(x) = \ln x \implies u'(x) = \frac{1}{x}$ et $v'(x) = 1 \implies v(x) = x$.
$\int_{1}^{\sqrt{e}} \ln x \, dx = [x\ln x]_1^{\sqrt{e}} - \int_{1}^{\sqrt{e}} 1 \, dx = \left(\sqrt{e}\ln\sqrt{e} - 0\right) - [x]_1^{\sqrt{e}} = \frac{\sqrt{e}}{2} - (\sqrt{e} - 1) = 1 - \frac{\sqrt{e}}{2} = \frac{2 - \sqrt{e}}{2}$.

3) b) Intégration de $f(x)$ :
Une primitive de $x \mapsto 1$ est $x$, et une primitive de $\ln x$ est $x\ln x - x$. Donc une primitive de $f(x) = 1 - \ln x$ est $F(x) = x - (x\ln x - x) = 2x - x\ln x$.
$\int_{\sqrt{e}}^{e} f(x) \, dx = [2x - x\ln x]_{\sqrt{e}}^{e} = (2e - e\ln e) - (2\sqrt{e} - \sqrt{e}\ln\sqrt{e}) = (2e - e) - (2\sqrt{e} - \frac{\sqrt{e}}{2}) = e - \frac{3}{2}\sqrt{e}$.

3) c) Calcul de l'aire hachurée :
L'aire est découpée selon la position des courbes par rapport à l'axe des abscisses ou entre elles :
$\mathcal{A} = \int_{1}^{\sqrt{e}} g(x) \, dx + \int_{\sqrt{e}}^{e} f(x) \, dx = \left(1 - \frac{1}{2}\sqrt{e}\right) + \left(e - \frac{3}{2}\sqrt{e}\right) = e - 2\sqrt{e} + 1 = (\sqrt{e} - 1)^2 \; \text{u.a.}$.

Éléments de Réponse & Correction :

1) a) Factorisation : En factorisant par $\ln x$, on obtient directement $h(x) = \ln x [(\ln x)^2 - 3]$.

1) b) Limite en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} \ln x = - \infty$. Donc $\lim_{x \to 0^+} (\ln x)^3 = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} -3\ln x = +\infty$. Forme indéterminée levée par factorisation : $\lim_{x \to 0^+} \ln x [(\ln x)^2 - 3] = (-\infty) \times (+\infty) = -\infty$.
Interprétation : La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à $(C_h)$.

1) c) Limite en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} h(x) = (+\infty) \times (+\infty) = +\infty$.
Pour la branche infinie : $\lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^3}{x} - \frac{3\ln x}{x} = 0 - 0 = 0$.
Interprétation : $(C_h)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses $(Ox)$ au voisinage de $+\infty$.

2) Résolution de $h(x) = 0$ :
$\ln x = 0 \implies x = 1$.
OU $(\ln x)^2 - 3 = 0 \implies \ln x = \sqrt{3}$ ou $\ln x = -\sqrt{3} \implies x = e^{\sqrt{3}}$ ou $x = e^{-\sqrt{3}}$.
D'où l'ensemble des solutions : $\{e^{-\sqrt{3}}; 1; e^{\sqrt{3}}\}$.

3) a) Dérivée :
$h'(x) = 3(\ln x)'(\ln x)^2 - 3(\ln x)' = \frac{3}{x}(\ln x)^2 - \frac{3}{x} = \frac{3}{x}[(\ln x)^2 - 1] = \frac{3}{x}(\ln x - 1)(\ln x + 1)$.

3) b) & c) Signe, Valeurs et Variations :
Le signe de $h'(x)$ dépend du produit $(\ln x - 1)(\ln x + 1)$.
• $\ln x - 1 \ge 0 \implies x \ge e$.
• $\ln x + 1 \ge 0 \implies x \ge 1/e$.
En dressant le tableau de signes, on valide que $h'$ est positive à l'extérieur des racines $[1/e; e]$.
• Extrémums : $h(1/e) = (-1)^3 - 3(-1) = 2$ (Maximum local). $h(e) = (1)^3 - 3(1) = -2$ (Minimum local).

4) Images d'intervalles :
• Pour $I = [1/e; e]$, la fonction est continue et strictement décroissante de $2$ à $-2$. Donc $h([1/e; e]) = [-2; 2]$.
• Pour $J = ]0; +\infty[$, vu les limites aux bornes ($-\infty$ et $+\infty$), la fonction étant continue, $h(]0; +\infty[) = \mathbb{R}$.