المملكة المغربية

وزارة التربية الوطنية والتعليم الأولي والرياضة

المركز الوطني للامتحانات والمدرسية وتقييم التعلمات

Sujet Officiel : NS 26F

الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا

Session Normale 2026 الدورة العادية

الصفحة : 1 / 7

مادة : الرياضيات

Durée d'épreuve : 2 heures

Coefficient : 4

Filière : Sciences Économiques & Gestion

INSTRUCTIONS GENERALES :

L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée ;
Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient ;
L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.

COMPOSANTES DU SUJET

Exercice 1 : Suites numériques 4 Points

Exercice 2 : Calcul des probabilités 4 Points

Exercice 3 : Étude de fonction (Graphique) 4 Points

Exercice 4 : Étude de fonction & Calcul Intégral 8 Points

Exercice n°1 : Suites numériques

4 points

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{u_n - 25}{u_n + 11} \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}

0.5 pt

1.a. Calculer $u_1$.

Correction :

$u_1 = \frac{u_0 - 25}{u_0 + 11} = \frac{1 - 25}{1 + 11} = \frac{-24}{12} = -2$

0.5 pt

1.b. Montrer que : $\frac{u_n - 25}{u_n + 11} + 5 = 6 \times \frac{u_n + 5}{u_n + 11}$.

Correction :

$$u_{n+1} + 5 = \frac{u_n - 25}{u_n + 11} + 5 = \frac{u_n - 25 + 5(u_n + 11)}{u_n + 11}$$ $$= \frac{u_n - 25 + 5u_n + 55}{u_n + 11} = \frac{6u_n + 30}{u_n + 11} = 6 \times \frac{u_n + 5}{u_n + 11}$$

On pose : $v_n = \frac{1}{u_n + 5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

0.25 pt

2.a. Calculer $v_0$.

Correction :

$v_0 = \frac{1}{u_0 + 5} = \frac{1}{1 + 5} = \frac{1}{6}$.

Exercice n°2 : Calcul des probabilités

4 points

Une urne contient cinq boules rouges et deux boules vertes. On tire au hasard simultanément cinq boules de l'urne.
On considère les trois événements suivants :

A : « Trois boules tirées sont rouges et deux sont vertes »
B : « Les boules tirées sont de même couleur »
C : « Au moins une boule tirée est verte »

0.5 pt

1. Vérifier que : $C_7^5 = 21$.

Correction :

Le nombre de tirages possibles est donné par la combinaison :
$C_7^5 = C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$. Le nombre total de cas possibles ($\text{Card}(\Omega)$) est donc $21$.

0.5 pt

2.a. Montrer que : $p(A) = \frac{10}{21}$.

Correction :

L'événement $A$ nécessite d'obtenir 3 boules parmi les 5 rouges et 2 boules parmi les 2 vertes :
$\text{Card}(A) = C_5^3 \times C_2^2 = 10 \times 1 = 10$.
D'où : $p(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{10}{21}$.

0.5 pt

2.b. Calculer : $p(B)$.

Correction :

Puisqu'il n'y a que 2 boules vertes, on ne peut pas tirer 5 boules vertes simultanément. Être de même couleur signifie obligatoirement tirer 5 boules rouges : $$\text{Card}(B) = C_5^5 = 1 \implies p(B) = \frac{1}{21}$$

0.5 pt

2.c. Calculer : $p(C)$.

Correction :

L'événement contraire $\overline{C}$ est : « Ne tirer aucune boule verte », c'est-à-dire ne tirer que des boules rouges (ce qui correspond précisément à l'événement $B$).
$p(C) = 1 - p(\overline{C}) = 1 - p(B) = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$.

Soit $X$ la variable aléatoire définie par le nombre de boules rouges tirées.

1 pt

3.a. Copier puis compléter le tableau ci-dessous de la loi de probabilité de $X$.

$x_i$	3	4	5
$p(X = x_i)$	$\frac{10}{21}$	……	……

Correction :

- Pour $X=4$ (4 rouges et 1 verte) : $\text{Card}(X=4) = C_5^4 \times C_2^1 = 5 \times 2 = 10 \implies p(X=4) = \frac{10}{21}$.
- Pour $X=5$ (5 rouges et 0 verte) : $\text{Card}(X=5) = C_5^5 = 1 \implies p(X=5) = \frac{1}{21}$.
Le tableau complété est :

$x_i$	3	4	5
$p(X=x_i)$	$\frac{10}{21}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{1}{21}$

1 pt

3.b. Calculer $E(X)$ l'espérance mathématique de $X$.

Correction :

L'espérance se calcule ainsi :
$E(X) = (3 \times \frac{10}{21}) + (4 \times \frac{10}{21}) + (5 \times \frac{1}{21})$
$E(X) = \frac{30 + 40 + 5}{21} = \frac{75}{21} = \frac{25}{7}$.

Exercice n°3 : Étude de fonction (Analyse Graphique)

4 points

On considère la fonction numérique $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = e^x - 2x^2 + 1$ et soit $(\mathcal{C}_g)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.
En utilisant le graphique fourni, indiquer si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse (Aucune justification n'est demandée) :

0.5 pt

A : « L'équation $g(x)=1$ admet trois solutions dans $\mathbb{R}$ »

0.5 pt

B : « La fonction $g$ est croissante sur $[0;+\infty[$ »

0.5 pt

C : « La fonction $g$ admet une valeur maximale sur $\mathbb{R}$ »

0.5 pt

D : « $g'(2) \le 0$ »

[la courbe représentative de la fonction $\varphi{g}$ ]

Réponses officielles :

A : VRAIE (La droite horizontale $y=1$ coupe la courbe à trois reprises distinctes).
B : FAUSSE (L'exponentielle est surpassée temporairement par le pôle polynomial, la courbe redescend).
C : FAUSSE (La limite quand $x \to +\infty$ de $e^x - 2x^2 + 1 = +\infty$, la fonction n'est pas majorée supérieurement).
D : VRAIE (La fonction décroît aux voisinages de la valeur 2).

0.5 pt

2.a. Calculer $g'(x)$.

Correction :

La fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$ :
$g'(x) = (e^x)' - (2x^2)' + (1)' = e^x - 4x$.

0.5 pt

2.b. Vérifier que : $g''(x) = e^x - 4$.

Correction :

En dérivant de nouveau $g'(x)$ :
$g''(x) = (e^x - 4x)' = e^x - 4$.

1 pt

2.c. Étudier le signe de $g''$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire que le point d'abscisse $\ln(4)$ est un point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C}_g)$.

Correction :

Résolvons l'inéquation : $g''(x) \ge 0 \iff e^x - 4 \ge 0 \iff e^x \ge 4 \iff x \ge \ln(4)$.
Ainsi, $g''(x)$ s'annule en $\ln(4)$ et change de signe (négatif à gauche, positif à droite). La dérivée seconde s'annulant en changeant de signe, le point d'abscisse $\ln(4)$ constitue bien un point d'inflexion pour $(\mathcal{C}_g)$.

Exercice n°4 : Étude de fonction & Calcul Intégral

8 points

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par :

f(x) = \frac{x^2}{2} - \ln x

et soit $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

1 pt

1. Justifier que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$, puis donner une interprétation géométrique du résultat.

Correction :

On sait que $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{2} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.
Par conséquent : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$.
Interprétation : La courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées).

0.5 pt

2.a. Justifier que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. (On peut écrire $f(x) = x\left(\frac{x}{2} - \frac{\ln x}{x}\right)$)

Correction :

Par croissances comparées, on a $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2} = +\infty$.
En utilisant la factorisation suggérée : $\lim_{x \to +\infty} x\left(\frac{x}{2} - \frac{\ln x}{x}\right) = (+\infty) \times (+\infty - 0) = +\infty$.

1 pt

2.b. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$, puis donner une interprétation géométrique du résultat.

Correction :

Calculons le rapport : $\frac{f(x)}{x} = \frac{x}{2} - \frac{\ln x}{x}$.
Puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, on obtient par différence : $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$.
Interprétation : La courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(Oy)$ en $+\infty$.

1 pt

3.a. Montrer que $f'(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x}$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$.

Correction :

Pour tout $x > 0$ :
$f'(x) = \left(\frac{x^2}{2}\right)' - (\ln x)' = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$.
En appliquant l'identité remarquable au numérateur, on retrouve bien : $f'(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.

0.5 pt

3.b. Étudier le signe de $f'$ sur $]0;+\infty[$.

Correction :

Puisque $x \in ]0;+\infty[$, les facteurs $x$ et $(x+1)$ sont strictement positifs. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui du facteur $(x-1)$ :
- Si $0 < x < 1$, alors $x-1 < 0 \implies f'(x) < 0$.
- Si $x > 1$, alors $x-1 > 0 \implies f'(x) > 0$.
- Si $x = 1$, $f'(1) = 0$.

1 pt

3.c. Calculer $f(1)$, puis recopier et compléter le tableau de variations de $f$ ci-après.

$x$	0	1	+$ \infty$
$f'(x) $		0
$f(x)$

Correction :

Calcul de la valeur minimale : $f(1) = \frac{1^2}{2} - \ln(1) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.
Le tableau complet se dresse ainsi :

$x$	0	1	+$ \infty$
$f'(x)$	-	0	+
$f(x)$	+$ \infty$ $\searrow$	$\frac{1}{2}$ $\nearrow$	+$ \infty$

0.5 pt

3.d. En déduire que $f$ est positive sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.

Correction :

D'après le tableau de variations, $f(1) = \frac{1}{2}$ est le minimum absolu de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
Par conséquent, pour tout $x \in ]0;+\infty[$, $f(x) \ge \frac{1}{2} > 0$. Donc la fonction $f$ est strictement positive.

1 pt

4.a. Montrer que : $\int_1^e \ln x \, dx = 1$.

Correction :

En utilisant une intégration par parties en posant :
$u(x) = \ln x \implies u'(x) = \frac{1}{x}$
$v'(x) = 1 \implies v(x) = x$
On obtient : $$\int_1^e \ln x \, dx = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \, dx = (e\ln e - 1\ln 1) - \Big[x\Big]_1^e$$ $$= e - 0 - (e - 1) = 1$$

0.5 pt

4.b. Calculer l'intégrale : $\int_1^e \frac{x^2}{2} \, dx$.

Correction :

$$\int_1^e \frac{x^2}{2} \, dx = \left[ \frac{x^3}{6} \right]_1^e = \frac{e^3}{6} - \frac{1^3}{6} = \frac{e^3 - 1}{6}$$

[la courbe représentative de la fonction $\varphi{f}$ ]

1 pt

4.c. Soit $\mathcal{A}$ l'aire du domaine limité par la courbe $(\mathcal{C}_f)$, l'axe $(Ox)$ et les droites d'équations ($x=1$) et ($x=e$). Montrer que : $\mathcal{A} = \frac{e^3 - 7}{6} \text{ u.a}$.

Correction :

Puisque la fonction $f$ est positive sur $[1;e]$, l'aire $\mathcal{A}$ correspond à la formule : $$\mathcal{A} = \int_1^e f(x) \, dx = \int_1^e \left(\frac{x^2}{2} - \ln x\right) \, dx = \int_1^e \frac{x^2}{2} \, dx - \int_1^e \ln x \, dx$$ En injectant les résultats des questions 4.a et 4.b, on trouve : $$\mathcal{A} = \frac{e^3 - 1}{6} - 1 = \frac{e^3 - 1 - 6}{6} = \frac{e^3 - 7}{6} \text{ u.a.}$$