Examen National du Baccalauréat 2024

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[1,+\infty[$ par $f(1)=\frac{1}{2}$ et pour tout $x\in[1,+\infty[$, $f(x)=\frac{\ln(x)}{x^{2}-1}$.
Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$.
1- Montrer que $f$ est continue à droite en $1$.
2- Calculer $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3- a) Soit $x\in]1,+\infty[$. En posant : $t=(x-1)^{2}$, vérifier que : $\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{-\sqrt{t}+\ln(1+\sqrt{t})}{t}$
b) Montrer que $(\forall t\in]0,+\infty[)$ $-\frac{1}{2}<\frac{-\sqrt{t}+\ln(1+\sqrt{t})}{t}<\frac{-1}{2(1+\sqrt{t})}$. (On pourra utiliser le théorème des accroissements finis sur l'intervalle $[0;t]$)
c) En déduire que : $\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^{2}}=-\frac{1}{2}$.
4- a) Montrer que : $\forall x\in]1,+\infty[$, $\frac{f(x)-\frac{1}{2}}{x-1}=-\frac{\ln(x)}{x-1}\times\frac{1}{2(x+1)}+\frac{\ln(x)-x+1}{2(x-1)^{2}}$
b) En déduire que $f$ est dérivable à droite en $1$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
5- Pour tout $x\in[1,+\infty[$ on pose $I(x)=\int_{1}^{x}\frac{t^{2}-1}{t^{3}}dt$ et $J(x)=\int_{1}^{x}\frac{t^{2}-1}{t^{2}}dt$.
a) Montrer que : $\forall x\in[1,+\infty[$, $0\le I(x)\le J(x)$.
b) Montrer que pour tout $x\in[1,+\infty[$, $I(x)=\ln(x)-\frac{x^{2}-1}{2x^{2}}$ et $J(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x}$.
c) Montrer que : $\forall x\in]1, +\infty[$, $f^{\prime}(x)=\frac{-2}{(x+1)^{2}}\times\frac{I(x)}{J(x)}$.
d) En déduire que : $\forall x\in[1,+\infty[$, $-\frac{1}{2}\le f^{\prime}(x)\le 0$.
6- a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ et b) Tracer la courbe $(C)$ (On prendra $\|\vec{i}\|=1\text{cm}$ et $\|\vec{j}\|=2\text{cm}$).
7- Montrer que l'équation $f(x)=x-1$ admet une unique solution $a$ dans $]1,2[$.
8- Soit $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $a_{0}\in[1,+\infty[$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $a_{n+1}=1+f(a_{n})$.
a) Montrer que: $(\forall n\in\mathbb{N})$ $|a_{n+1}-a|\le\frac{1}{2}|a_{n}-a|$.
b) Montrer par récurrence que : $(\forall n\in\mathbb{N})$ $|a_{n}-a|\le(\frac{1}{2})^{n}|a_{0}-a|$.
c) En déduire que la suite $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.

Soit $F$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0;1]$ par : $F(x)=\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt$.
1-a) Montrer que $F$ est continue, strictement croissante sur $[0;1]$.
b) En déduire que $F$ est une bijection de $[0;1]$ vers $[0;\beta]$ avec $\beta=\int_{0}^{1}e^{t^{2}}dt$.
2- On note $F^{-1}$ la bijection réciproque de $F$. Pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, on pose : $S_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{k=n}F^{-1}\left(\frac{k}{n}\beta\right)$.
a) Montrer que la suite $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ est convergente de limite $l=\frac{1}{\beta}\int_{0}^{\beta}F^{-1}(t)dt$.
b) Montrer que $l=\frac{1}{\beta}\int_{0}^{1}u~e^{u^{2}}du$ (On pourra effectuer le changement de variable $u=F^{-1}(t)$).
c) En déduire que : $l=\frac{e-1}{2\beta}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E_{\alpha}): z^{2}-2iz+\alpha=0$ avec $\alpha\in\mathbb{C}$.
Partie I :
1-a) Montrer que le discriminant de l'équation $(E_{\alpha})$ est $\Delta=-4(1+\alpha)$.
b) Déterminer l'ensemble des valeurs $\alpha$ pour lesquelles l'équation $(E_{\alpha})$ admet dans $\mathbb{C}$ deux solutions distinctes.
2- On note $z_1$ et $z_2$ les deux solutions. Déterminer $z_1+z_2$ et $z_1z_2$.
Partie II : Soient $\Omega$, $M_1$ et $M_2$ points d'affixes respectivement $\alpha$, $z_1$ et $z_2$.
1- On suppose que $\alpha=m^2-2m$ avec $m\in\mathbb{R}$.
a) Déterminer $z_1$ et $z_2$ en fonction de $m$.
b) En déduire que les points $O$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés.
2- On suppose que $O$, $M_1$ et $M_2$ ne sont pas alignés.
a) Montrer que $\frac{z_1}{z_2}$ est un imaginaire pur si et seulement si $\text{Re}(z_1\overline{z_2})=0$.
b) Montrer que : $|z_1-z_2|^2=|z_1+z_2|^2-4\text{Re}(z_1\overline{z_2})$.
c) En déduire que $\frac{z_1}{z_2}$ est un imaginaire pur si et seulement si $|z_1-z_2|=2$.
3-a) Montrer que : $(z_1-z_2)^2=\Delta$.
b) Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $\Omega$ pour que le triangle $OM_1M_2$ soit rectangle en $O$.

On considère dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*}$ la loi de composition interne $T$ définie par :
$\forall((a,b),(c,d))\in(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*})^{2}, (a,b)\,T\,(c,d)=(a\overline{d}+c,\,bd)$. ($\overline{d}$ étant le conjugué de $d$)
1-a) Vérifier que $(i,2)\,T\,(1,i)=(2,2i)$, puis calculer $(1,i)\,T\,(i,2)$.
b) En déduire que la loi $T$ n'est pas commutative dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*}$.
2- Montrer que la loi $T$ est associative dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*}$.
3- Vérifier que $(0,1)$ est l'élément neutre pour $T$ dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*}$.
4-a) Vérifier que $\forall(a,b)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*}$ ; $(a,b)\,T\,\left(-\frac{a}{\overline{b}},\frac{1}{b}\right)=(0,1)$.
b) Montrer que $(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*},T)$ est un groupe non commutatif.
5-a) Montrer que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*}$ est stable par la loi de composition interne $T$.
b) Montrer que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*}$ est un sous-groupe du groupe $(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*},T)$.

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts et $r$ un entier naturel premier avec $p$ et avec $q$.
1- a) Montrer que $p$ divise $r^{p-1}-1$ et que $q$ divise $r^{q-1}-1$.
b) En déduire que $p$ et $q$ divisent $r^{(p-1)(q-1)}-1$.
c) Montrer que $pq$ divise $r^{(p-1)(q-1)}-1$.
2- Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $2024^{192}x \equiv 3 \pmod{221}$ (On donne : $221=13\times 17$).