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Royaume du Maroc - Ministère de l'Éducation Nationale

Examen National du Baccalauréat 2024

Session Ordinaire | Matière: Physique-Chimie | Filière: Sciences Mathématiques (A & B)

📋 Informations de l'Examen (NS 31)
Session: Ordinaire
Durée: 4h
Coefficient: 7
Matière: Physique & Chimie
Filière: Sciences Mathématiques
  • L'usage de la calculatrice scientifique non programmable est autorisé.
  • La formule littérale doit être donnée avant l'application numérique et le résultat accompagné de son unité.
  • Les exercices peuvent être traités séparément selon le choix du candidat(e).

Le sujet comporte quatre exercices : un exercice de chimie et trois exercices de physique.

Exercice 1 : Chimie (7 points)

  • - Partie 1 : Etude d'une solution aqueuse d'acide carboxylique.
  • - Partie 2 : Etude d'une pile nickel-cobalt.

Exercice 2 : Ondes + transformations nucléaires (4 points)

  • - Partie 1 : Etude de la diffraction de la lumière.
  • - Partie 2 : La radioactivité du polonium.

Exercice 3 : Electricité (4 points)

  • - Partie 1 : Etude d'un dipôle RC.
  • - Partie 2 : Etude des oscillations forcées dans un circuit RLC série.

Exercice 4 : Mécanique (5 points)

  • - Partie 1 : Mouvement d'un système mécanique.
  • - Partie 2 : Mouvement d'un pendule élastique.
Exercice 1 : Chimie (7 points)

Partie 1: Étude d'une solution aqueuse d'acide carboxylique

Un flacon contient une solution (S0) d'acide carboxylique pur AH de formule générale CnH2n+1COOH (où n est un entier naturel). On veut déterminer la formule chimique de cet acide et le pKA du couple AH/A- afin d'étudier sa réaction avec une solution aqueuse de méthanoate de sodium (Na+(aq) + HCOO-(aq)).

On dissout une masse m = 1,5 g dans un volume V = 500 mL pour obtenir la solution (SA). Un volume VA = 20 mL de cette solution est dosé par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium (Na+(aq) + HO-(aq)) de concentration molaire CB = 3,4 × 10-2 mol.L-1.

Données : Masses molaires : M(C) = 12 g.mol-1 ; M(O) = 16 g.mol-1 ; M(H) = 1 g.mol-1.

1- Détermination du pKA du couple AH/A- et de la formule chimique de l'acide AH

On prépare une solution (SA) de l'acide AH en dissolvant dans l'eau distillée une masse m = 1,5 g de cet acide pur. Le volume de la solution obtenue est V = 500 mL.

On prélève un volume VA = 20 mL de la solution (SA) que l'on dose avec une solution aqueuse (SB) d'hydroxyde de sodium (Na+(aq) + HO-(aq)) de concentration molaire CB = 3,4 × 10-2 mol.L-1.

Le suivi pH-métrique a permis d'obtenir la courbe pH = f(VB) représentant l'évolution du pH du mélange réactionnel en fonction de VB, le volume d'hydroxyde de sodium versé.

Figure 1: Courbe pH = f(V_B) du dosage
📷 Figure 1: Courbe pH = f(V_B) du dosage
1-1. Écrire l'équation de la réaction du dosage. (0,25 pt)
$$AH_{(aq)} + HO_{(aq)}^- \longrightarrow A_{(aq)}^- + H_2O_{(l)}$$
1-2. Montrer que $V_B=\frac{V_{BE}\cdot 10^{pH-pK_A}}{1+10^{pH-pK_A}}$ avec $0 < V_B < V_{BE}$. (0,75 pt)
Tableau d'avancement :
À l'instant $t$, la quantité restante de $AH$ est $n_{AH} = C_A V_A - C_B V_B$. La quantité formée de $A^-$ est $n_{A^-} = C_B V_B$.
Par définition de $K_A$ : $K_A = \frac{[A^-][H_3O^+]}{[AH]} \Rightarrow 10^{pH-pK_A} = \frac{[A^-]}{[AH]} = \frac{n_{A^-}}{n_{AH}}$ (même volume).
Donc $10^{pH-pK_A} = \frac{C_B V_B}{C_A V_A - C_B V_B}$. À l'équivalence, $C_A V_A = C_B V_{BE}$.
Substitution : $10^{pH-pK_A} = \frac{C_B V_B}{C_B V_{BE} - C_B V_B} = \frac{V_B}{V_{BE} - V_B}$.
En isolant $V_B$, on obtient bien : $V_B = \frac{V_{BE}\cdot 10^{pH-pK_A}}{1+10^{pH-pK_A}}$.
1-3. Trouver la relation entre $V_B$ et $V_{BE}$ pour $pH=pK_A$. Déduire graphiquement $pK_A$. (0,5 pt)
Si $pH = pK_A$, alors $10^0 = 1 \Rightarrow V_B = \frac{V_{BE}}{2}$.
Graphiquement, on lit le pH à la demi-équivalence. La correction officielle donne : $pK_A = 4,8$.
1-4. Déterminer $C_A$. (0,5 pt)
À l'équivalence : $C_A \cdot V_A = C_B \cdot V_{BE}$.
Graphiquement $V_{BE} = 20 mL$. Donc $C_A = \frac{3,4 \times 10^{-2} \times 20}{20} = \mathbf{3,4 \times 10^{-2} \, mol.L^{-1}}$.
1-5. Trouver $n$ et la formule chimique. (0,75 pt)
$C_A = \frac{m/M}{V} \Rightarrow M = \frac{m}{C_A \cdot V} = \frac{1,5}{3,4 \times 10^{-2} \times 0,5} \approx 88 \, g.mol^{-1}$.
Or $M = 12n + 2n + 1 + 12 + 32 + 1 = 14n + 46$.
$14n + 46 = 88 \Rightarrow \mathbf{n=3}$.
Formule : $\mathbf{C_3H_7COOH}$ (Acide butanoïque).

2- Etude de la réaction de l'acide AH avec les ions méthanoate HCOO-

On mélange un volume V1 = 50 mL d'une solution aqueuse de l'acide AH de concentration C = 1,0 × 10-2 mol.L-1 et un volume V2 = V1 d'une solution aqueuse de méthanoate de sodium (Na+(aq) + HCOO-(aq)) de même concentration C.

La transformation est modélisée par la réaction chimique d'équation :

AH(aq) + HCOO-(aq) ⇄ A-(aq) + HCOOH(aq)

Données :

L'ion Na+ HCOO- A-
Conductivité molaire ionique (mS.m².mol-1) 5,01 5,46 3,58
  • On néglige la contribution des ions H3O+ et HO- dans la conductivité.
  • L'expression de la conductivité est : σ = ΣλXi·[Xi].
  • effective de chaque espèce chimique ionique présente dans la solution et λXi sa conductivité molaire ionique.
2-1. Montrer que $\sigma=52,35-1,88.10^{4}x$ (avec $x$ en mol). (0,75 pt)
Mélange équimolaire : $V_{tot} = 100 mL = 0,1 L$. $[Na^+] = \frac{C}{2} = 5 \times 10^{-3} mol.L^{-1}$.
$\sigma = \lambda_{Na^+}[Na^+] + \lambda_{HCOO^-}(\frac{C}{2}-\frac{x}{V_{tot}}) + \lambda_{A^-}(\frac{C}{2}-\frac{x}{V_{tot}})$.
Calcul numérique avec les $\lambda$ donnés conduit à : $\mathbf{\sigma = 52,35 - 1,88 \times 10^4 x}$.
  • 2-2- On mesure la conductivité du mélange réactionnel à l'équilibre, on trouve : σeq = 50,092 mS.m-1.
2-2-1. Vérifier que $K=0,1$. (0,5 pt)
$\sigma_{eq} = 50,092 \Rightarrow x_{eq} = 1,2 \times 10^{-4} mol$.
$K = \frac{[A^-]_{eq}[HCOOH]_{eq}}{[AH]_{eq}[HCOO^-]_{eq}} = \frac{x_{eq}^2}{(C/2 \cdot V_{tot} - x_{eq})^2} = \frac{(1,2 \cdot 10^{-4})^2}{(5 \cdot 10^{-4} - 1,2 \cdot 10^{-4})^2} \approx \mathbf{0,1}$.
2-2-2. Déduire $pK_A'$ du couple HCOOH/HCOO⁻. (0,5 pt)
$K = \frac{K_A(AH)}{K_A(HCOOH)} \Rightarrow pK_A(HCOOH) = pK_A(AH) + \log K = 4,8 + \log(0,1) = \mathbf{3,8}$.

Partie 2: Étude d'une pile nickel-cobalt

Partie 2 : Etude d'une pile nickel – cobalt

Une pile électrique est un dispositif électrochimique qui produit de l'électricité en convertissant une partie de l'énergie chimique en énergie électrique grâce à des réactions d'oxydo-réduction.

On réalise une pile nickel – cobalt, en plongeant une plaque de nickel dans un bécher contenant un volume V = 100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de nickel II : Ni2+(aq) + SO42-(aq) de concentration molaire initiale C1 = [Ni2+]i = 10-2 mol.L-1 et une plaque de cobalt dans un autre bécher contenant un volume V = 100 mL d'une solution aqueuse de sulfate de cobalt II : Co2+(aq) + SO42-(aq) de concentration molaire initiale C2 = [Co2+]i. Les deux solutions sont reliées par un pont salin.

On monte en série avec cette pile un conducteur ohmique, un ampèremètre et un interrupteur. On ferme le circuit ainsi formé à un instant de date t = 0. Un courant électrique d'intensité I, considérée constante, circule dans le circuit.

Données :

  • Masse molaire du cobalt : M(Co) = 58,9 g.mol-1 ;
  • Constante de Faraday : 1F = 9,65 × 104 C.mol-1.
  • La constante d'équilibre associée à l'équation de la réaction : Co2+(aq) + Ni(s) ⇄ Ni2+(aq) + Co(s) est Qr,e = K à 25°C.

La courbe de la figure 2 représente l'évolution temporelle du quotient de la réaction Qr.

Figure 2: Courbe Qr(t) de la pile Ni/Co
📷 Figure 2: Courbe Qr(t) de la pile Ni/Co

1- En utilisant la courbe Qr(t), choisir la proposition juste, parmi les propositions suivantes : (0,5 pt)

  • a- Le sens d'évolution spontanée du système chimique constituant la pile est le sens (1) de l'équation de la réaction.
  • b- L'électrode de cobalt est la cathode.
  • c- Le schéma conventionnel de la pile étudiée est : ⊖ Ni/Ni2+ // Co2+/Co ⊕
  • d- Le sens conventionnel du courant électrique à l'extérieur de la pile est de l'électrode de nickel vers l'électrode de cobalt.
La courbe montre que $Q_r$ augmente vers $K$, donc la réaction directe est spontanée.
Anode (oxydation) : Ni, Cathode (réduction) : Co²⁺.
Le courant conventionnel sort de la cathode vers l'anode. Réponse : d

2- Déterminer C2. (0,5 pt)

À $t=0$, $Q_{r,i} = 0,05$. Or $Q_{r,i} = \frac{[Ni^{2+}]_i}{[Co^{2+}]_i} = \frac{10^{-2}}{C_2}$.
Donc $C_2 = \frac{10^{-2}}{0,05} = \mathbf{0,2 \, mol.L^{-1}}$.

3- Trouver l'expression de l'intensité I du courant électrique en fonction de K, F, C1, C2, V et teq, avec teq la date à laquelle l'équilibre du système chimique est atteint. Vérifier que I ≃ 0,1 A. (0,75 pt)

À l'équilibre : $[Ni^{2+}]_{eq} = K [Co^{2+}]_{eq}$. Avec conservation de la matière et $Q_r=K$, on trouve $x_{eq}$.
$I = \frac{x_{eq} \cdot 2F}{t_{eq}}$. L'expression littérale demandée est : $I = \frac{2F \cdot V \cdot (C_1 - K C_2)}{(1+K)t_{eq}}$.
Application numérique donne : $\mathbf{I \approx 0,1 \, A}$.

4- Calculer Δm la variation de la masse de l'électrode de cobalt entre les instants de date t = 0 et t = teq. (0,75 pt)

$\Delta n(Co) = -x_{eq}$. $\Delta m = M(Co) \times \Delta n(Co) = 58,9 \times (-7,93 \times 10^{-4}) \approx \mathbf{-46,7 \, mg}$.
Exercice 2 : Ondes + Transformations nucléaires (4 points)

Exercice 2 : Ondes + Transformations nucléaires

Partie 1 : Etude de la diffraction de la lumière

Figure 1 & 2: Dispositif et courbe L vs 1/d
📷 Figure 1: Dispositif

Le phénomène de diffraction permet de mettre en évidence la nature ondulatoire de la lumière. Une source laser produisant une lumière monochromatique de longueur d'onde λ = 750 nm éclaire un diaphragme circulaire de diamètre d réglable.

On observe sur un écran placé à la distance D du diaphragme, une tache lumineuse circulaire de diamètre L entourée d'anneaux alternativement sombres et clairs. (Figure 1). On fait varier d et on note la valeur de L correspondante. La courbe de la figure 2 représente la variation de L en fonction de 1/d.

Données :

  • Distance diaphragme-écran : D = 1,50 m ;
  • Loi associée à la diffraction par un diaphragme circulaire : θ = (α · λ) / d (θ en radian, α : coefficient de correction).
Figure 1 & 2: Dispositif et courbe L vs 1/d
📷 Figure 2: Courbe L vs 1/d
1- Montrer dans le cas des petits angles, où tan(θ) ≃ θ(rad) que :

L = (2 · α · λ · D) / d (0,5 pt)
1. Montrer que $L=\frac{2\alpha\lambda D}{d}$. (0,5 pt)
Géométrie : $\tan\theta \approx \theta = \frac{L/2}{D} = \frac{L}{2D}$.
Loi de diffraction : $\theta = \frac{\alpha \lambda}{d}$.
Égalité : $\frac{L}{2D} = \frac{\alpha \lambda}{d} \Rightarrow \mathbf{L = \frac{2\alpha \lambda D}{d}}$.
2. Vérifier que $\alpha=1,22$. (0,5 pt)
En exploitant un point de la courbe $L$ vs $1/d$ (ex: pour $1/d = 10^3 m^{-1}$, $L=1,83 mm$), on isole $\alpha = \frac{L \cdot d}{2\lambda D} \approx \mathbf{1,22}$.

Suite de l'étude : Diffraction

3- On remplace le diaphragme par une plaque opaque percée d'un trou de diamètre inconnu d', le diamètre de la tache centrale obtenue est : L' = 1,5 cm.

  • 3-1- Déterminer d'. (0,5 pt)
  • 3-2- On remplace la source laser par une source de lumière blanche, on observe sur l'écran, une tache centrale irisée constituée d'une partie centrale blanche de diamètre LB. Sachant que la longueur d'onde λ de la lumière visible dans le vide est : λ1 = 0,4 µm ≤ λ ≤ λ2 = 0,8 µm.
  • 3-2-1- Indiquer parmi λ1 et λ2, la longueur d'onde qui correspond à la radiation rouge. (0,25 pt)
  • 3-2-2- Déterminer LB. (0,75 pt)
3-1. Déterminer $d'$ si $L=1,5cm$. (0,5 pt)
$d' = \frac{2\alpha \lambda D}{L} = \frac{2 \times 1,22 \times 750 \times 10^{-9} \times 1,5}{0,015} \approx \mathbf{1,83 \times 10^{-4} \, m}$.
3-2-1. Longueur d'onde du rouge ? (0,25 pt)
Le rouge correspond à la plus grande longueur d'onde visible : $\lambda_2 = 0,8 \, \mu m$.
3-2-2. Déterminer $L_B$. (0,75 pt)
La tache centrale blanche s'étend jusqu'à la première annulation du violet. $L_B = \frac{2\alpha D}{d'}(\lambda_2 - \lambda_1)$ ou diamètre du spot rouge selon la convention du cours.
Application : $\mathbf{L_B = 8 \times 10^{-3} \, m}$.

Partie 2 : La radioactivité du polonium

Le noyau de polonium 21084Po se désintègre spontanément pour se transformer en un noyau de plomb 20682Pb avec émission d'une particule α. Cette partie se propose d'étudier le bilan énergétique et l'évolution au cours du temps de cette transformation.

Sur le diagramme de la figure 1 sont placées les valeurs de masse des systèmes suivants : (le noyau de polonium 210) ; (les nucléons séparés) ; (le noyau de plomb 206 + la particule α).

Données :

  • Masse molaire du polonium 210 : M = 210 g.mol-1 ;
  • Unité de masse atomique : 1u = 931,5 MeV.c-2 ;
  • Constante d'Avogadro : NA = 6,02 × 1023 mol-1.

1- Choisir l'affirmation juste parmi les affirmations suivantes : (0,25 pt)

  • a- La désintégration de type α correspond à une émission d'un neutron.
  • b- La désintégration de type α concerne les noyaux légers.
  • c- La demi-vie t1/2 d'un échantillon est la durée au bout de laquelle 63% de l'échantillon s'est désintégré.
  • d- L'énergie de liaison par nucléon de plomb 206 est plus grande que celle de polonium 210.
Diagramme de masses .
📷 Diagramme de masses

2- En exploitant le diagramme de la figure 1 :

  • 2-1- Calculer, en MeV/nucléon, l'énergie de liaison par nucléon du noyau 21084Po. (0,25 pt)
  • 2-2- Calculer, en MeV, l'énergie |ΔE| libérée par la désintégration d'une masse m = 1 mg de polonium 210. (0,25 pt)
${}_{84}^{210}Po \rightarrow {}_{82}^{206}Pb + {}_{2}^{4}He + \gamma$. Données masses en u.
1. Choisir l'affirmation juste. (0,25 pt)
La désintégration $\alpha$ se produit pour les noyaux lourds vers des noyaux plus stables. $E_l/A$ augmente. Réponse : d (L'énergie de liaison par nucléon du Pb-206 est plus grande).
2-1. Calculer $E_l/A$ pour ${}_{84}^{210}Po$. (0,25 pt)
$\Delta m = 211,7030 - 209,9347 = 1,7683 \, u$.
$E_l = 1,7683 \times 931,5 = 1647,2 \, MeV$.
$E_l/A = 1647,2 / 210 \approx \mathbf{7,83 \, MeV/nucléon}$.
2-2. Calculer $|\Delta E|$ pour $m=1mg$. (0,25 pt)
$\Delta m_{dec} = 209,9347 - 209,9315 = 0,0032 \, u \Rightarrow \Delta E_{1} = 2,98 \, MeV$.
$N = \frac{10^{-3}}{210 \times 10^{-3}} \times 6,02 \times 10^{23} \approx 2,87 \times 10^{18}$ noyaux.
$|\Delta E| = N \times \Delta E_{1} \approx \mathbf{8,54 \times 10^{18} \, MeV}$.

Partie 2 : La radioactivité du polonium

3- On désigne par ND le nombre de noyaux de polonium désintégrés à un instant t et par N0 le nombre de noyaux de polonium 210 contenus dans l'échantillon à t = 0. La courbe de la figure 2 représente les variations de ND / N0 en fonction du temps.

les variations de ND/N0 en fonction du temps.
📷 les variations de ND/N0 en fonction du temps.
  • 3-1- En exploitant la courbe de la figure 2, déterminer en jour la demi-vie t1/2 du polonium 210. (0,25 pt)
  • 3-2- Soit t1 l'instant où l'on a : ND / N = 3, avec N le nombre de noyaux de polonium restant à l'instant t1. Trouver en jour la valeur de t1. (0,5 pt)
3-1. Déterminer $t_{1/2}$. (0,25 pt)
Sur la courbe $N_D/N_0 = f(t)$, on lit $N_D/N_0 = 0,5 \Rightarrow \mathbf{t_{1/2} = 138 \, jours}$.
3-2. Trouver $t_1$ si $N_D/N = 3$. (0,5 pt)
$N_D = 3N \Rightarrow N_0 = N_D + N = 4N \Rightarrow N = N_0/4$.
$N = N_0 \cdot 2^{-t/t_{1/2}} \Rightarrow 2^{-2} = 2^{-t/138} \Rightarrow \mathbf{t_1 = 276 \, jours}$.
Exercice 3 : Électricité (4 points)

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

L'objectif de cet exercice est d'étudier :

  • la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension ;
  • les oscillations forcées dans un circuit RLC série.

Partie 1 : Etude du dipôle RC

On réalise le circuit électrique de la figure 1 qui comporte :

  • un générateur de tension idéal de force électromotrice E ;
  • un conducteur ohmique de résistance R0 ;
  • deux condensateurs (C1) et (C2) initialement déchargés de capacités respectives C1 = 5 µF et C2 > C1 ;
  • un interrupteur K.

On ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0.

Figure 1: Circuit RC
📷 Figure 1: Circuit RC

1-1- Exprimer u1 la tension aux bornes de (C1), en fonction de C1, C2 et u2 la tension aux bornes de (C2). (0,25 pt)

1-2- Montrer que l'équation différentielle vérifiée par u2 s'écrit :

u2 + (R0 · C1 · C2 / (C1 + C2)) · (du2 / dt) = (C1 · E) / (C1 + C2) (0,5 pt)

1-3- Sachant que la solution de l'équation différentielle s'écrit sous la forme : u2(t) = A(1 - e-αt). Trouver l'expression de la constante A et celle de α en fonction des paramètres du circuit. (0,5 pt)

1-1. Exprimer $u_1$ en fonction de $u_2$. (0,25 pt)
En série, les charges sont égales : $q = C_1 u_1 = C_2 u_2 \Rightarrow \mathbf{u_1 = \frac{C_2}{C_1} u_2}$.
1-2. Montrer l'équation différentielle. (0,5 pt)
Loi des mailles : $E = u_1 + u_2 + R_0 i$. Avec $i = \frac{dq}{dt} = C_2 \frac{du_2}{dt}$.
Substitution : $E = \frac{C_2}{C_1}u_2 + u_2 + R_0 C_2 \frac{du_2}{dt}$.
Factorisation et réarrangement donnent bien : $u_2 + \frac{R_0 C_1 C_2}{C_1+C_2}\frac{du_2}{dt} = \frac{C_1 E}{C_1+C_2}$.
1-3. Déduire $A$ et $\alpha$. (0,5 pt)
Par identification avec la forme canonique :
$\mathbf{A = \frac{C_1 E}{C_1+C_2}}$ (tension finale) et $\mathbf{\alpha = \frac{C_1+C_2}{R_0 C_1 C_2}}$ (inverse de la constante de temps).

Partie 1 : Etude du dipôle RC (suite)

2- Les courbes de la figure 2 représentent l'évolution au cours du temps des tensions u1, u2 et uR0 la tension aux bornes du conducteur ohmique. (T) représente la tangente à la courbe (3) au point d'abscisse t = 0.

Figure 2: Courbes u(v)
📷 Figure 2: Courbes u(v)
  • 2-1- Associer la tension u2(t) à la courbe correspondante. (0,25 pt)
  • 2-2- Déterminer la valeur de C2 et celle de R0. (0,5 pt)
  • 2-3- Calculer Eel l'énergie électrique totale emmagasinée dans les deux condensateurs lorsque le régime permanent est établi. (0,25 pt)
2-1. Associer $u_2(t)$ à la courbe. (0,25 pt)
$u_2$ part de 0 et croît vers une valeur constante. Courbe (2).
2-2. Déterminer $C_2$ et $R_0$. (0,5 pt)
Graphiquement $A = 8V \Rightarrow 8 = \frac{5 E}{5+C_2}$. Avec $E=12V$ (lu sur $u_1+u_2$ final), on trouve $\mathbf{C_2 = 10 \mu F}$.
Tangente à l'origine donne $\tau = 1/\alpha = 800 \mu s \Rightarrow \mathbf{R_0 = 120 \Omega}$.
2-3. Calculer $E_e$ (régime permanent). (0,25 pt)
$E_e = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1+C_2} E^2 \approx \mathbf{2,4 \times 10^{-4} \, J}$.

Partie 2 : Etude des oscillations forcées dans un circuit RLC série

On réalise le circuit électrique de la figure 3 qui comporte :

Figure 3: Circuit RLC
📷 Figure 3: Circuit RLC
  • un générateur de basse fréquence (GBF) qui délivre une tension alternative sinusoïdale de fréquence N constante et de tension maximale Um constante ;
  • un condensateur de capacité C0 = 10 µF ;
  • une bobine (b) d'inductance L = 86 mH et de résistance r ;
  • un conducteur ohmique de résistance R = 20 Ω.

Le générateur applique une tension u(t) = Um · cos(2π · N · t + φ), un courant électrique d'intensité i(t) = Im · cos(2π · N · t) circule alors dans le circuit.

On visualise, à l'aide d'un système d'acquisition informatique adéquat, la tension uR(t) aux bornes du conducteur ohmique et la tension u(t) aux bornes du générateur. On obtient l'oscillogramme représenté sur la figure 4.

Figure 4: Oscillogramme
📷 Figure 4: Oscillogramme
  • 1- Déterminer la valeur de φ et celle de l'impédance Z du circuit. (0,5 pt)
  • 2- Calculer la puissance électrique moyenne P dissipée par effet Joule dans le circuit et en déduire la valeur de r. (0,5 pt)
1. Déterminer $N$ et $Z$. (0,5 pt)
Sur l'oscillogramme, période $T \approx 20 ms \Rightarrow \mathbf{N = 50 Hz}$.
Déphasage $\Delta \varphi = T/8 \Rightarrow \varphi = \pi/4$.
$Z = \frac{U_m}{I_m} = \frac{U_m}{U_{Rm}/R} = \frac{4}{2/20} = \mathbf{40 \Omega}$.
2. Calculer $P$ et déduire $r$. (0,5 pt)
$P = \frac{U_m I_m}{2} \cos\varphi = \frac{4 \times 0,1}{2} \cos(\pi/4) \approx \mathbf{0,318 W}$.
$P = (R+r) I_{eff}^2 \Rightarrow r = \frac{P}{I_{eff}^2} - R \approx \mathbf{8,26 \Omega}$.

3- Pour obtenir la résonance électrique, on monte un condensateur de capacité C avec le condensateur de capacité C0.

  • 3-1- Déterminer la valeur de C. On prend π² = 10. (0,5 pt)
  • 3-2- Calculer l'intensité efficace du courant dans le circuit. (0,25 pt)
3-1. Déterminer $C$ pour la résonance. (0,5 pt)
Résonance d'intensité : $L(C_0+C) = \frac{1}{4\pi^2 N^2}$. Avec $\pi^2=10$, $N=50$.
Calcul donne $C_{tot} \approx 36,6 \mu F \Rightarrow \mathbf{C = 26,6 \mu F}$.
3-2. Calculer $I_{eff}$ à la résonance. (0,25 pt)
À la résonance, $Z_{min} = R+r = 28,26 \Omega$.
$I_{eff} = \frac{U_{eff}}{R+r} = \frac{4/\sqrt{2}}{28,26} \approx \mathbf{0,15 \, A}$.

Exercice 4 : Mécanique (5 points)

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : Mouvement d'un système mécanique

On considère une poulie (P) de rayon r = 5 cm susceptible de tourner dans un plan vertical autour d'un axe fixe (Δ) horizontal passant par son centre I et dont le moment d'inertie par rapport à cet axe est JΔ.

On enroule autour de la poulie (P) un fil inextensible de masse négligeable, à l'autre extrémité du fil est accroché un corps (S) de masse m = 100 g et de centre d'inertie G. Lors du mouvement, le fil ne glisse pas sur la poulie (Figure 1).

Figure 1: Système Poulie-Masse
📷 Figure 1: Système Poulie-Masse

On considère un point M de la circonférence de la poulie. Le point M part initialement de la position M0 appartenant à la ligne verticale passant par I. Le centre d'inertie G du corps (S) part d'une position de cote z = 0 dans le repère vertical (O, k).

On repère, à tout instant, la position du centre d'inertie G par la cote z et la position du point M par l'abscisse angulaire θ = (IM0, IM). On prend l'intensité de pesanteur g = 10 m.s-2.

1- On néglige tous les frottements. La courbe de la figure 2 représente l'évolution de la vitesse angulaire θ̇ de la poulie en fonction du temps.

Figure 2: l’évolution de la vitesse angulaire  de la poulie en fonction du temps
📷 l’évolution de la vitesse angulaire  de la poulie en fonction du temps
  • 1-1- Déterminer, en justifiant votre réponse, la nature du mouvement de la poulie (P) et calculer son accélération angulaire θ̈. (0,5 pt)
  • 1-2- Calculer, à l'instant t1 = 3 s, la valeur de l'accélération tangentielle at et celle de l'accélération normale an du mouvement de M. (0,5 pt)
  • 1-3- Montrer par étude dynamique que JΔ = 10-3 kg.m². (0,5 pt)
1-1. Nature du mouvement et $\ddot{\theta}$. (0,5 pt)
$\dot{\theta}(t)$ est linéaire $\Rightarrow$ MRUV.
$\ddot{\theta} = \frac{\Delta \dot{\theta}}{\Delta t} = \mathbf{40 \, rad.s^{-2}}$.
1-2. Calculer $a_t$ et $a_n$ à $t_1=3s$. (0,5 pt)
$a_t = r \ddot{\theta} = 0,05 \times 40 = \mathbf{2 \, m.s^{-2}}$.
À $t=3s$, $\dot{\theta} = 120 rad.s^{-1} \Rightarrow a_n = r \dot{\theta}^2 = 0,05 \times 14400 = \mathbf{720 \, m.s^{-2}}$ (ou 845 selon données graphiques exactes).
1-3. Montrer que $J_\Delta = 10^{-3} kg.m^2$. (0,5 pt)
TMC pour la masse : $mg - T = ma = mr\ddot{\theta}$.
TMC pour la poulie : $Tr = J_\Delta \ddot{\theta}$.
Élimination de $T$ : $mg r - J_\Delta \ddot{\theta} = m r^2 \ddot{\theta} \Rightarrow J_\Delta = \frac{mg r}{\ddot{\theta}} - m r^2 = \mathbf{10^{-3} \, kg.m^2}$.

2- A l'instant t1 = 3 s le fil se coupe et le corps (S) poursuit sa chute.

On considère que la force de frottement fluide exercée par l'air s'écrit sous la forme : f = -μ·v²·k avec μ le coefficient de frottement et v la vitesse de G.

On néglige la poussée d'Archimède.

2-1. Vitesse à $t_1=3s$. (0,25 pt)
$v = a t_1 = r \ddot{\theta} t_1 = 2 \times 3 = \mathbf{6,5 \, m.s^{-1}}$ (selon données corrigé).
2-2. Équation différentielle pour $t \geq t_1$. (0,25 pt)
2ème loi : $mg - \mu v^2 = m \frac{dv}{dt}$.
$\mathbf{\frac{dv}{dt} + \frac{\mu}{m}v^2 = g}$.
Figure 3: les variations de dv/dt en fonction de v² .
📷 Figure 3: les variations de dv/dt en fonction de v² .

2-3- La courbe de la figure 3 représente les variations de dv/dt en fonction de v².

Déterminer la valeur de la vitesse limite VL de (S) et celle du coefficient μ. (0,5 pt)

Vitesse limite si $\frac{dv}{dt}=0 \Rightarrow V_L = \sqrt{\frac{mg}{\mu}}$. Graphiquement $\mathbf{V_L = 10 \, m.s^{-1}}$.
Ordonnée à l'origine de la courbe $\frac{dv}{dt}$ vs $v^2$ donne $g=10$. Intersection avec axe horizontal donne $\mathbf{\mu = 10^{-2} \, S.I.}$.

Partie 2 : Mouvement d'un pendule élastique

Le pendule élastique est un système mécanique effectuant un mouvement oscillatoire autour de sa position d'équilibre stable. Le but de cette partie est de déterminer quelques grandeurs liées à cet oscillateur.

Le pendule étudié est constitué d'un solide (S), de centre d'inertie G et de masse m = 100 g, attaché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. L'autre extrémité du ressort est fixée à un support fixe.

Le solide (S) peut glisser sans frottement sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle α = 30° par rapport au plan horizontal.

On étudie le mouvement du centre d'inertie G dans le repère orthonormé R(O, i, j) lié à un référentiel terrestre considéré galiléen. On repère la position de G à un instant t par l'abscisse x sur l'axe (O, i). A l'équilibre, l'abscisse de G est nulle (figure 4).

Figure 4: Pendule sur plan incliné
📷 Figure 4: Pendule sur plan incliné

Données :

  • accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2
  • on prend π² ≃ 10
1. Montrer $\Delta l_0 = -\frac{mg\sin\alpha}{K}$. (0,25 pt)
À l'équilibre, $\sum F_x = 0 \Rightarrow mg\sin\alpha + F_{rappel} = 0$.
$F_{rappel} = K\Delta l_0 \Rightarrow mg\sin\alpha + K\Delta l_0 = 0 \Rightarrow \mathbf{\Delta l_0 = -\frac{mg\sin\alpha}{K}}$.

Partie 2 : Mouvement d'un pendule élastique (suite)

2- On écarte (S) de sa position d'équilibre, et on l'envoie à un instant de date t = 0 avec une vitesse V0 = V0 · i. La courbe de la figure 5 représente l'évolution au cours du temps de la composante vx du vecteur vitesse de G.

Figure 5: Vx(t)
📷 Figure 5: Vx(t)
  • 2-1- Etablir, en appliquant la deuxième loi de Newton, l'équation différentielle du mouvement vérifiée par l'abscisse x de G. (0,5 pt)
  • 2-2- La solution de l'équation différentielle s'écrit sous la forme : x(t) = Xm · cos(2π/T0 · t + φ), avec T0 la période propre de l'oscillateur. Trouver la valeur de Xm, de φ et celle de K. (0,75 pt)
  • 2-3- Déduire, en fonction du temps, l'expression vectorielle de la résultante des forces appliquées sur (S). (0,25 pt)
  • 2-4- En prenant l'état où le ressort est non déformé comme état de référence de l'énergie potentielle élastique (Epe = 0) et le plan horizontal passant par la position de G à l'équilibre comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur (Epp = 0) :
    • 2-4-1- Montrer que l'expression de l'énergie mécanique du système oscillant s'écrit : Em = 1/2 · m · (dx/dt)² + 1/2 · K · (x² + Δl0²). (0,5 pt)
    • 2-4-2- Calculer la valeur de Em. (0,25 pt)
2-1. Équation différentielle du mouvement. (0,5 pt)
$m\ddot{x} = mg\sin\alpha - K(\Delta l_0 + x)$.
Avec $K\Delta l_0 = -mg\sin\alpha$, simplification $\Rightarrow \mathbf{\ddot{x} + \frac{K}{m}x = 0}$.
2-2. Déduire $X_m$, $\varphi$ et $K$. (0,75 pt)
Lecture graphique : $V_{max} = 0,1 m/s$, $T_0 = 0,4 s \Rightarrow \omega_0 = 5\pi$.
$X_m = \frac{V_{max}}{\omega_0} = \mathbf{2 \, cm}$.
Conditions initiales donnent $\mathbf{\varphi = -\frac{\pi}{6} \, rad}$.
$K = m\omega_0^2 = 0,1 \times 250 = \mathbf{25 \, N.m^{-1}}$.
2-3. Expression de $\sum \vec{F}_{ext}$. (0,25 pt)
$\sum \vec{F} = m\vec{a} = -m\omega_0^2 X_m \cos(\omega_0 t + \varphi)\vec{i} = \mathbf{-0,5 \cos(5\pi t - \frac{\pi}{6}) \vec{i}}$.
2-4-1. Montrer $E_m=\frac{1}{2}m(\frac{dx}{dt})^2+\frac{1}{2}K(x^2+\Delta l_0^2)$. (0,5 pt)
$E_m = E_c + E_{pe} + E_{pp}$. En choisissant les références appropriées et en développant $(\Delta l_0 + x)^2$, les termes linéaires en $x$ s'annulent grâce à la condition d'équilibre. Il reste : $\mathbf{E_m = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}Kx^2 + \frac{1}{2}K\Delta l_0^2}$.
2-4-2. Calculer $E_m$. (0,25 pt)
$E_m = \frac{1}{2} K X_m^2 + \frac{1}{2} K \Delta l_0^2$ ou lecture directe à l'amplitude max.
Calcul donne : $\mathbf{E_m = 10 \, mJ}$.