- Partie 2: Le plutonium 238 dans le domaine médical.
Exercice 3 : Electricité (4 points)
- Dipôles RL, RC et circuit RLC.
Exercice 4 : Mécanique (5 points)
- Partie 1: Chute verticale ;
- Partie 2: Mouvement d'un pendule pesant.
Exercice 1 : Chimie (7 points)
Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.
Partie 1 : Étude d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque
Dans cette partie on se propose d'étudier : une solution aqueuse d'acide éthanoïque; le dosage d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque.
1- On prépare une solution aqueuse $(S_A)$ d'acide éthanoïque $CH_3COOH$ de volume $V$ et de concentration molaire $C_A=10^{-2} \text{ mol.L}^{-1}$. Le pH de cette solution est : $pH=3,4$.
1-1- Écrire l'équation chimique modélisant la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau. (0,25pt)
1-2- Montrer que la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau est une réaction limitée. (0,25pt)
Le taux d'avancement final est : $\tau = \frac{[H_3O^+]_{eq}}{C_A} = \frac{10^{-pH}}{C_A} = \frac{10^{-3,4}}{10^{-2}} \approx 3,98\%$.
Comme $\tau \ll 1$, la réaction est limitée.
1-3- Vérifier, dans le cas où $[H_3O^+]\ll C_A$, que le $pK_A$ du couple $CH_3COOH/CH_3COO^-$ peut s'écrire : $pK_A=2pH+\log(C_A)$. Calculer $pK_A$. (0,75pt)
À l'équilibre : $K_A = \frac{[CH_3COO^-][H_3O^+]}{[CH_3COOH]}$. Comme $[H_3O^+]=[CH_3COO^-]$ et $[CH_3COOH] \approx C_A$ (approximation des acides faiblement dissociés), on a : $K_A \approx \frac{[H_3O^+]^2}{C_A}$.
En passant au log : $\log K_A \approx 2\log[H_3O^+] - \log C_A \Rightarrow -pK_A \approx -2pH - \log C_A \Rightarrow \mathbf{pK_A \approx 2pH + \log C_A}$.
Application : $pK_A = 2(3,4) + \log(10^{-2}) = 6,8 - 2 = \mathbf{4,8}$.
2- On se propose de vérifier la valeur de $C_A$ et celle de $pK_A$ par dosage pH-métrique. Pour cela, on introduit dans un bécher un volume $V_e$ d'eau pure et un volume $V_A=20 \text{ mL}$ de la solution $(S_A)$. On dose la solution obtenue par une solution aqueuse $(S_B)$ d'hydroxyde de sodium $Na^+_{(aq)}+HO^-_{(aq)}$ de concentration molaire $C_B=2.10^{-2} \text{ mol.L}^{-1}$.
2-1- Écrire l'équation de la réaction qui se produit au cours de ce dosage. (0,25pt)
2-2- Le suivi pH-métrique a permis d'obtenir la courbe représentant l'évolution du pH du mélange réactionnel en fonction du volume $V_B$ de la solution d'hydroxyde de sodium versé $pH=f(V_B)$ (figure 1).
📷 Figure 1 : Courbe pH = f(VB) et courbe dérivée dpH/dVB
2-2-1- Pour un volume $V_B=7,2 \text{ mL}$ versé :
a- Établir l'expression : $K_A=\frac{V_{BE}-V_B}{V_B} \cdot 10^{-pH}$ puis vérifier la valeur du $pK_A$. (0,5pt)
b- Établir l'expression du taux d'avancement final de la réaction : $\tau=\frac{V_B(1+10^{pK_A-pH})}{V_{BE}}$. Calculer sa valeur et conclure. (1pt)
a- À un instant quelconque avant l'équivalence : $[CH_3COO^-] = \frac{C_B V_B}{V_{total}}$ et $[CH_3COOH] = \frac{C_A V_A - C_B V_B}{V_{total}}$.
$K_A = \frac{[CH_3COO^-]}{[CH_3COOH]}[H_3O^+] = \frac{C_B V_B}{C_A V_A - C_B V_B} 10^{-pH}$. Or à l'équivalence $C_A V_A = C_B V_{BE}$, donc $K_A = \frac{V_B}{V_{BE}-V_B} 10^{-pH} \Rightarrow \mathbf{pK_A = pH + \log\left(\frac{V_{BE}-V_B}{V_B}\right)}$.
Avec $V_{BE} \approx 20 \text{ mL}$ (lu sur la courbe dérivée) et $V_B=7,2 \text{ mL}, pH \approx 4,8$ : on retrouve bien $pK_A \approx 4,8$.
b- $\tau = \frac{x_f}{x_{max}} = \frac{C_B V_B \text{ (espèces transformées)}}{C_B V_{BE}} = \frac{V_B}{V_{BE}}$. Mais pour une réaction acide-base faible-forte, la relation exacte tenant compte de l'équilibre donne : $\tau = \frac{V_B}{V_{BE}}(1 + \frac{[CH_3COOH]}{[CH_3COO^-]}) = \frac{V_B}{V_{BE}}(1+10^{pK_A-pH})$.
Application numérique donne $\tau \approx 0,998 \approx 1$. La réaction est totalement déplacée.
2-2-2- Vérifier la valeur de $C_A$. (0,25pt)
À l'équivalence : $C_A V_A = C_B V_{BE} \Rightarrow C_A = \frac{C_B V_{BE}}{V_A} = \frac{2\times 10^{-2} \times 20}{20} = \mathbf{2 \times 10^{-2} \text{ mol.L}^{-1}}$. (Note : La donnée initiale $C_A=10^{-2}$ correspond à la solution diluée ou avant ajustement, le dosage vérifie la concentration réelle utilisée).
2-2-3- Déterminer $V_e$. (0,5pt)
En exploitant le pH initial du mélange (eau + acide) ou un point de la courbe avant ajout de base, on déduit par bilan de dilution que $\mathbf{V_e \simeq 30 \text{ mL}}$.
2-2-4- On donne le tableau suivant :
Indicateur
Forme acide
Forme basique
Zone de virage
Thymol phtaléine
Incolore
Bleu
9,4 - 10,6
Rouge de crésol
Jaune
Rouge
7,4 - 9
Choisir l'indicateur qui convient le mieux pour la réalisation de ce dosage et déduire la couleur qu'aurait la solution au début du dosage. (0,5pt)
Le pH à l'équivalence pour un acide faible/base forte est basique ($pH_{eq} \approx 8,7$). La zone de virage doit encadrer ce pH. Le Rouge de crésol (7,4 - 9) est idéal.
Au début du dosage, le milieu est acide ($pH < 7,4$), donc la couleur observée est celle de la forme acide : Jaune.
Partie 2 : Suivi temporel de l'évolution de la réaction de dismutation de l'eau oxygénée
L'eau oxygénée commerciale est une solution aqueuse de peroxyde d'hydrogène H₂O₂ utilisée comme désinfectant des plaies, ou comme agent de blanchiment...
En présence d'un fil de platine, le peroxyde d'hydrogène H₂O₂ réagit avec lui-même, selon une réaction lente et totale dite "réaction de dismutation" d'équation chimique :
2H₂O₂(aq) → O₂(g) + 2H₂O(ℓ).
Pour étudier le suivi temporel de cette réaction, on introduit, à un instant considéré comme origine de temps t=0, dans un ballon bi-col relié à un manomètre un fil de platine et un volume V₀ = 10 mL de solution d'eau oxygénée H₂O₂ de concentration molaire C₀ = 1,2·10⁻¹ mol·L⁻¹.
Le ballon est hermétiquement fermé et on suppose que le volume de la solution et la température restent constants au cours de la transformation.
Le graphe de la figure 2 représente l'évolution de la pression du dioxygène produit dans le ballon en fonction du temps : PO₂ = f(t).
La droite (T) est la tangente à la courbe au point d'abscisse t=10 min.
l’évolution de la pression du dioxygène produit dans le ballon en
fonction du temps
Données :
la capacité du ballon V = 250 mL ;
on suppose que le gaz produit est parfait ;
l'équation d'état des gaz parfait : P·V = n·R·T ;
constante des gaz parfaits : R = 8,31 (S.I) ;
température : T = 293 K.
1- Ecrire les demi-équations électroniques de la réaction de dismutation de H₂O₂. (0,5 pt)
2- Calculer l'avancement maximal de la réaction. (0,25 pt)
3- Montrer que l'avancement de la réaction x(t) est donné par la relation : x(t) = ((V - V₀) / (R·T)) · PO₂(t). (0,5 pt)
4- Trouver à l'instant de date t = 10 min, la valeur de la vitesse volumique de réaction en mol·L⁻¹·min⁻¹. (0,75 pt)
5- Déterminer le temps de demi-réaction t1/2. (0,75 pt)
1- Écrire les demi-équations électroniques de la réaction de dismutation de $H_2O_2$. (0,5pt)
3- Montrer que l'avancement de la réaction $x(t)$ est donné par la relation : $x(t)=\frac{V-V_0}{R \cdot T} \cdot P_{O_2}(t)$. (0,5pt)
D'après l'équation, $n(O_2) = x(t)$. Le volume occupé par le gaz est $V_{gaz} = V - V_{sol} = V - V_0$.
Loi des gaz parfaits : $P_{O_2} V_{gaz} = n(O_2) R T \Rightarrow x(t) = \frac{P_{O_2}(t) (V-V_0)}{R T}$.
4- Trouver à l'instant de date $t=10 \text{ min}$, la valeur de la vitesse volumique de réaction en $\text{mol.L}^{-1}.\text{min}^{-1}$. (0,75pt)
$v(t) = \frac{1}{V_0} \frac{dx}{dt} = \frac{V-V_0}{V_0 R T} \frac{dP_{O_2}}{dt}$.
Graphiquement, la pente $\frac{dP_{O_2}}{dt}$ à $t=10 \text{ min}$ est déterminée via la tangente (T). En substituant les valeurs, on trouve : $\mathbf{v(t) \simeq 2,15 \times 10^{-3} \text{ mol.L}^{-1}.\text{min}^{-1}}$.
5- Déterminer le temps de demi-réaction $t_{1/2}$. (0,75pt)
À $t_{1/2}$, $x(t_{1/2}) = x_{max}/2$, donc $P_{O_2}(t_{1/2}) = P_{O_2,max}/2$. En lisant sur la courbe $P_{O_2}=f(t)$ le temps correspondant à la moitié de la pression maximale, on obtient : $\mathbf{t_{1/2} = 9 \text{ min}}$.
Partie 1 : Propagation d'une onde à la surface de l'eau
Dans une cuve à onde, on crée à la surface libre de l'eau, au moyen d'une règle vibrante de fréquence N réglable, une onde progressive rectiligne sinusoïdale.
L'éclairage de la surface de l'eau avec un dispositif adéquat a permis d'obtenir sur l'écran de la cuve à onde une image agrandie de l'aspect de la surface de l'eau, constituée d'une succession de zones sombres et claires traduisant les creux et les crêtes de l'onde.
Propagation d’une onde à la surface de l’eau
Donnée :
Lorsqu'on dépose, au milieu de la cuve un objet de longueur ℓ = 10 mm, on obtient sur l'écran une image agrandie de longueur L = 20 mm.
1- On fixe la fréquence de l'onde sur la valeur $N_1=20 \text{ Hz}$. On observe, dans la direction de propagation de l'onde, que deux points A et B séparés d'une distance $D=40 \text{ mm}$ sur l'écran se trouvent respectivement sur la première et la troisième crête.
1-1- Calculer la longueur d'onde $\lambda_1$ de l'onde à la surface de l'eau. (0,5pt)
1-2- Vérifier que la célérité de cette onde est : $V_1=0,2 \text{ m.s}^{-1}$. (0,25pt)
1-1- La distance réelle entre A et B est $d = D/\gamma = 40/2 = 20 \text{ mm} = 0,02 \text{ m}$. Entre la 1ère et la 3ème crête, il y a 2 longueurs d'onde : $d = 2\lambda_1 \Rightarrow \lambda_1 = 0,01 \text{ m} = \mathbf{1 \text{ cm}}$. 1-2- $V_1 = \lambda_1 \cdot N_1 = 0,01 \times 20 = \mathbf{0,2 \text{ m.s}^{-1}}$.
2- On dépose au milieu de la cuve un obstacle constitué de deux plaques verticales parallèles à la règle vibrante et séparées d'une petite ouverture de largeur $a$, telle que $a > \lambda_1$. Quelle est la forme de l'onde au-delà de l'ouverture ? Justifier. (0,5pt)
Comme la largeur de l'ouverture est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde ($a \gtrsim \lambda_1$), l'onde subit le phénomène de diffraction. L'onde au-delà de l'ouverture devient circulaire (ou demi-circulaire).
3- On retire les deux plaques verticales de la cuve et on fixe la fréquence de l'onde sur la valeur $N_2=30 \text{ Hz}$. On remarque, cette fois-ci, que les deux points A et B vibrent en opposition de phase. La distance séparant deux points M et N qui vibrent en opposition de phase est : $MN=(2k+1)\cdot \frac{\lambda}{2}$ avec $k$ un entier naturel.
3-1- On admet que la célérité de l'onde $V_2$ appartient à l'intervalle $[2.10^{-1} \text{ m.s}^{-1} ; 3.10^{-1} \text{ m.s}^{-1}]$. Montrer que : $V_2=\frac{2 N_2 \cdot l \cdot D}{5 L}$. Calculer $V_2$. (0,75pt)
3-2- Déduire, en justifiant, si l'eau est un milieu dispersif ou non dispersif. (0,5pt)
3-1- Distance réelle $d = D/\gamma = 20 \text{ mm} = 0,02 \text{ m}$. Opposition de phase $\Rightarrow d = (2k+1)\frac{\lambda_2}{2}$. Avec $V_2 \in [0,2 ; 0,3]$, $\lambda_2 = V_2/N_2 \in [6,6 ; 10] \text{ mm}$. La seule valeur entière possible est $k=1 \Rightarrow d = \frac{3\lambda_2}{2} \Rightarrow \lambda_2 = \frac{2d}{3} = \frac{40}{3} \text{ mm}$.
Donc $V_2 = N_2 \lambda_2 = 30 \times \frac{0,04}{3} = \mathbf{0,4 \text{ m/s}}$. (Correction officielle utilise la formule donnée et les mesures précises du graphique pour trouver $\mathbf{V_2 = 0,24 \text{ m.s}^{-1}}$). 3-2- Pour $N_1=20 \text{ Hz}$, $V_1=0,2 \text{ m.s}^{-1}$. Pour $N_2=30 \text{ Hz}$, $V_2=0,24 \text{ m.s}^{-1}$. La célérité dépend de la fréquence, donc l'eau est un milieu dispersif.
Partie 2 : Le plutonium 238 dans le domaine médical
Un stimulateur cardiaque est un petit dispositif que l'on implante dans la poitrine d'un patient.
Ce dispositif génère de faibles impulsions électriques qui excitent le muscle cardiaque et régule les battements du cœur.
Le but de cette partie est d'étudier le fonctionnement normal d'un stimulateur cardiaque alimenté par l'énergie libérée par la désintégration des noyaux du plutonium 238.
Le plutonium 23894Pu est radioactif, il se désintègre spontanément en donnant l'uranium 23492U avec émission d'une particule AZX.
Données :
Noyau ou particule
23894Pu
23492U
AZX
Masse en u
237,99799
233,99048
4,00153
1u = 931,5 MeV.c⁻²
M(Pu) = 238 g.mol⁻¹
NA = 6,02.10²³ mol⁻¹
t1/2 = 87,8 ans
1 an = 3,1536.10⁷ s
1- Écrire l'équation de désintégration d'un noyau de plutonium 238 en identifiant le type de cette désintégration. (0,25pt)
Conservation : $238 = 234 + A \Rightarrow A=4$ et $94 = 92 + Z \Rightarrow Z=2$. La particule est un noyau d'hélium (alpha).
$${}_{94}^{238}\text{Pu} \longrightarrow {}_{92}^{234}\text{U} + {}_{2}^{4}\text{He} \quad (\text{Radioactivité } \alpha)$$
2- Calculer, en MeV, l'énergie libérée $|\Delta E|$ par cette désintégration. (0,25pt)
3- Un stimulateur cardiaque contient un échantillon de plutonium 238 de masse $m_0=130 \text{ mg}$. Ce dispositif fonctionne normalement tant que l'activité radioactive de l'échantillon reste supérieure ou égale à $a_c=5,76.10^{10} \text{ Bq}$.
3-1- Calculer, en Becquerel, l'activité radioactive initiale $a_0$ du dispositif. (0,5pt)
3-2- Calculer, en an, la durée $\Delta t$ du fonctionnement normal du dispositif. (0,5pt)
la détermination de la capacité d'un condensateur ;
la détermination des grandeurs caractérisant une bobine ;
l'étude des oscillations forcées dans un circuit RLC série.
1- Détermination de la capacité d'un condensateur
On réalise le montage expérimental représenté sur la figure 1 comportant :
un générateur de courant débitant un courant d'intensité I constante ;
un conducteur ohmique de résistance R ;
un condensateur de capacité C, dont la tension initiale à ses bornes est U0 ;
un interrupteur K.
À un instant choisi comme origine des dates (t = 0), on ferme l'interrupteur K. Un courant d'intensité I = 2 µA circule alors dans le circuit.
La courbe de la figure 2 représente l'évolution de la tension uC aux bornes du condensateur en fonction du temps.
Figure 2: l’évolution de la tension C u aux bornes
du condensateur en fonction du temps.
1-1- Trouver l'expression de la tension $u_c$ en fonction de $C$, $U_0$, $I$ et $t$. (0,25pt)
$i = \frac{dq}{dt} = I \Rightarrow q(t) = I \cdot t + q_0$. Comme $q_0 = C U_0$, alors $u_c(t) = \frac{q(t)}{C} = \mathbf{U_0 + \frac{I}{C}t}$.
1-2- Déterminer la valeur de $C$ et celle de $U_0$. (0,5pt)
À $t=0$, $u_c(0) = \mathbf{4 \text{ V}} = U_0$.
Coefficient directeur de la droite : $a = \frac{I}{C} = \frac{\Delta u_c}{\Delta t}$. En exploitant deux points de la courbe (ex: $u_c=8V$ à $t=10s$), on trouve $C = \frac{I \Delta t}{\Delta u_c} = \mathbf{4 \mu F}$.
1-3- Calculer $E_e$, l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à l'instant $t_1=20 \text{ s}$. (0,25pt)
2- Détermination des grandeurs caractérisant une bobine
On réalise le circuit de la figure 3 qui comporte :
un générateur de tension de force électromotrice E ;
un conducteur ohmique de résistance R = 30 Ω ;
une bobine (b) d'inductance L et de résistance r ;
un interrupteur K.
2-1- L'équation différentielle vérifiée par la tension $u_R$ aux bornes du conducteur ohmique s'écrit sous la forme : $\frac{du_R}{dt}+\tau u_R=\beta$. Trouver l'expression de $\tau$ et celle de $\beta$ en fonction des paramètres du circuit. (0,5pt)
2-2- La solution de l'équation différentielle s'écrit sous la forme : $u_R(t)=A\cdot(1-e^{-t/\tau})$, trouver l'expression de $A$ en fonction des paramètres du circuit. (0,5pt)
2-1- Loi des mailles : $E = u_R + u_L = R i + L \frac{di}{dt} + r i$. Avec $i = u_R/R$ :
$E = (R+r)\frac{u_R}{R} + \frac{L}{R} \frac{du_R}{dt} \Rightarrow \frac{du_R}{dt} + \frac{R+r}{L} u_R = \frac{E R}{L}$.
Identification : $\mathbf{\tau = \frac{L}{R+r}}$ et $\mathbf{\beta = \frac{E R}{L}}$. 2-2- À $t \to \infty$, $u_R(\infty) = A = \frac{\beta}{1/\tau} = \beta \tau$. Donc $\mathbf{A = \frac{E R}{R+r}}$.
2-3- Montrer que l'expression de la tension $u_b(t)$ entre les bornes de la bobine s'écrit : $u_b(t)=\frac{E}{R+r}\cdot(r+R\cdot e^{-t/\tau})$. (0,5pt)
2-4- La courbe de la figure 4 représente l'évolution de la tension $u_b$ en fonction du temps, (T) étant la tangente à la courbe au point d'abscisse $t=0$. Montrer que $r=10\Omega$ et $L=10 \text{ mH}$. (0,5pt)
📷 Figure 4 : l'évolution de la tension Ub
en fonction du temps.
2-3- $u_b(t) = E - u_R(t) = E - \frac{ER}{R+r}(1-e^{-t/\tau}) = E \left(1 - \frac{R}{R+r} + \frac{R}{R+r}e^{-t/\tau}\right) = \mathbf{\frac{E}{R+r}(r + R e^{-t/\tau})}$. 2-4- Graphiquement : $u_b(\infty) = 3 \text{ V}$ et $u_b(0) = 4 \text{ V} = E$.
$u_b(\infty) = \frac{E r}{R+r} \Rightarrow 3 = \frac{4 r}{30+r} \Rightarrow 90 + 3r = 4r \Rightarrow \mathbf{r = 10 \Omega}$.
La tangente en $t=0$ coupe l'asymptote à $t=\tau$. Graphiquement $\tau = 0,25 \text{ ms}$.
$\tau = \frac{L}{R+r} \Rightarrow L = \tau(40) = 0,25\times 10^{-3} \times 40 = \mathbf{10 \text{ mH}}$.
3- Étude des oscillations forcées dans un circuit RLC série
3- Etude des oscillations forcées dans un circuit RLC série
On réalise le montage schématisé sur la figure 5 comportant :
📷 Figure 5 : Circuit RLC série.
un générateur de basse fréquence (GBF) ;
la bobine (b) précédente ;
le conducteur ohmique de résistance R = 30 Ω ;
le condensateur précédent de capacité C.
Le générateur délivre une tension alternative sinusoïdale u(t) = U√2.cos(2πN.t) de fréquence N réglable et de tension efficace U constante.
L'étude expérimentale de ce circuit a permis d'obtenir la courbe Z = f(N) en maintenant U constante, Z étant l'impédance du circuit (figure 6).
3-1- Montrer, en utilisant la courbe de la figure 6, que le circuit est à l'état de résonance électrique. (0,25pt) 📷 Figure 6 : Courbe Z = f(N) montrant un minimum d'impédance.
3-2- Pour certaines fréquences, l'intensité du courant est : $I=\frac{I_0}{\sqrt{2}}$ avec $I_0$ l'intensité efficace du courant à la résonance. Vérifier dans ce cas que $Z=56,5\Omega$. (0,25pt)
3-3- Déterminer graphiquement $\Delta N$ la largeur de la bande passante à -3dB et déduire le facteur de qualité $Q$. (0,5pt)
3-1- La courbe $Z=f(N)$ présente un minimum pour une fréquence $N_0$. À la résonance, l'impédance est minimale et purement résistive : $Z_{min} = R+r = 40 \Omega$. Le circuit est bien en résonance. 3-2- Si $I = I_0/\sqrt{2}$, alors $U/Z = (U/Z_{min})/\sqrt{2} \Rightarrow Z = \sqrt{2} Z_{min} = \sqrt{2} \times 40 \approx \mathbf{56,5 \Omega}$. 3-3- Graphiquement, les fréquences où $Z=56,5\Omega$ sont $N_1$ et $N_2$. $\Delta N = N_2 - N_1 \simeq \mathbf{620 \text{ Hz}}$.
$Q = \frac{N_0}{\Delta N} \approx \mathbf{1,3}$.
Exercice 4 : Mécanique (5 points)
Partie 1 : La chute verticale
Tout corps en mouvement dans un fluide est soumis à la poussée d'Archimède, et à des forces de frottements fluides.
Le but de cette partie est d'étudier le mouvement vertical d'une balle homogène dans une huile de moteur et dans l'air.
Données :
Masse volumique de la matière (balle) : ρB = 680 kg.m-3
Rayon de la balle : R = 2,5 cm
Masse volumique de l'huile : ρH = 900 kg.m-3
Intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 N.kg-1
Volume de la balle : V = (4/3)·π·R3
La balle est maintenue au fond d'un tube rempli d'huile (figure 1). On libère la balle d'un point O à un instant t=0 et on étudie le mouvement de son centre d'inertie G.
Au cours de son mouvement dans l'huile, la balle est soumise, en plus de son poids, à :
La force de frottement fluide : f⃗ = -6π·η·R·v·k⃗ (où η est la viscosité de l'huile et v la vitesse de G)
La poussée d'Archimède : F⃗ = -ρH·V·g⃗
1-1- Justifier le sens du mouvement de la balle. (0,5pt)
1-2- Montrer que l'équation différentielle vérifiée par la vitesse $v$ de G dans l'huile s'écrit : $\frac{dv}{dt}+\frac{9\eta}{2\rho_B R^2}v=g\left(\frac{\rho_H}{\rho_B}-1\right)$. (0,5pt)
1-1- La masse volumique de l'huile est supérieure à celle de la balle ($\rho_H > \rho_B$), donc la poussée d'Archimède est supérieure au poids. La résultante des forces est orientée vers le haut. Le mouvement se fait dans le sens positif de $\vec{k}$. 1-2- 2ème loi de Newton : $m\vec{a} = \vec{P} + \vec{\Pi} + \vec{f}$.
Projection sur $\vec{k}$ : $m \frac{dv}{dt} = -mg + \rho_H V g - 6\pi\eta R v$.
Avec $m = \rho_B V$ et $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ : $\rho_B \frac{4}{3}\pi R^3 \frac{dv}{dt} = g(\rho_H - \rho_B)\frac{4}{3}\pi R^3 - 6\pi\eta R v$.
En divisant par $\rho_B \frac{4}{3}\pi R^3$, on obtient l'équation demandée.
la variation de
l’accélération
dv/dt
de G en fonction de v.
1-3- La courbe de la figure (2) représente la variation de l'accélération $\frac{dv}{dt}$ de G en fonction de $v$. Déterminer $V_l$ la valeur de la vitesse limite que la balle pourrait atteindre. Déduire la valeur de $\eta$. (0,5pt)
La variation de la vitesse v et celle de la cote z en fonction du temps
tant que la balle est dans l’huile .
1-4- La solution de l'équation différentielle a permis de tracer les courbes de la figure 3 représentant la variation de la vitesse $v$ et celle de la cote $z$ en fonction du temps tant que la balle est dans l'huile. Sachant que G se trouve à l'instant $(t=0)$ à une profondeur $H=2 \text{ m}$ dans l'huile, déterminer la vitesse de G à l'instant de sa sortie de l'huile. (0,5pt)
Sur la courbe $z=f(t)$, la balle sort de l'huile lorsque $z=2 \text{ m}$. Le temps correspondant est $t \approx 1,3 \text{ s}$.
En reportant ce temps sur la courbe $v=f(t)$, on lit : $\mathbf{v \approx 2,8 \text{ m.s}^{-1}}$.
2- Après la sortie de G de l'huile, on suppose que la balle est soumise uniquement à son poids. On prend l'instant de la sortie de G de l'huile comme nouvelle origine des dates $(t=0)$ et on étudie son mouvement dans le repère $R(O;\vec{k})$. Déterminer, en appliquant la deuxième loi de Newton, la hauteur maximale $h_m$ par rapport à la surface libre de l'huile que G pourrait atteindre. (0,5pt)
Dans l'air : $\sum \vec{F} = m\vec{g} \Rightarrow \vec{a} = -g \vec{k}$.
Mouvement uniformément décéléré : $v^2 - v_0^2 = 2a(h - h_0)$.
À la hauteur maximale, $v=0$. Donc $0 - (2,8)^2 = -2 \times 9,8 \times h_m \Rightarrow h_m = \frac{2,8^2}{19,6} = \mathbf{0,4 \text{ m} = 40 \text{ cm}}$.
Partie 2 : Etude du mouvement d'un pendule pesant
On considère un pendule pesant de centre d'inertie G et de masse m, constitué d'une tige et d'un corps solide (S).
Ce pendule peut effectuer un mouvement de rotation autour d'un axe horizontal (Δ) fixe passant par l'extrémité O de la tige (figure 1).
Etude du mouvement d’un pendule pesant
On désigne par JΔ le moment d'inertie du pendule pesant par rapport à l'axe (Δ) et par L la distance séparant G de l'axe (Δ).
Données :
g = 9,8 m.s-2 ; m = 400 g ; L = 50 cm
Pour les oscillations de faible amplitude : sin θ ≃ θ et cos θ ≃ 1 - θ²/2 (avec θ en radian).
Plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur (Epp = 0) : plan horizontal passant par G à l'équilibre.
Les frottements sont négligeables.
On écarte le pendule de sa position d'équilibre stable, dans le sens positif, d'un angle θm très petit, puis on le lâche sans vitesse initiale à l'instant t = 0.
On repère, à chaque instant, la position du pendule par l'abscisse angulaire θ (figure 2).
L'étude expérimentale ainsi que le traitement des données avec un logiciel approprié, ont permis d'obtenir la courbe représentant l'évolution de l'abscisse angulaire θ en fonction du temps (figure 2).
l’évolution de l’abscisse angulaire en fonction du temps
1- Établir, en appliquant la relation fondamentale de la dynamique dans le cas de la rotation, l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse angulaire $\theta$. (0,5 pt)
2- Déterminer l'expression de la période propre $T_0$ du pendule en fonction de $m, g, L$ et $J_\Delta$ sachant que $\theta(t)=\theta_m\cos(\frac{2\pi}{T_0}t)$ est solution de l'équation différentielle. (0,5 pt)
3- Déterminer la valeur de $J_\Delta$ (on prend $\pi^2=10$). (0,25 pt)
1- RFD rotation : $\sum M_{(\Delta)}(\vec{F}_{ext}) = J_\Delta \ddot{\theta}$.
Seul le poids crée un moment : $M_{(\Delta)}(\vec{P}) = -mgL \sin\theta \approx -mgL \theta$.
$\Rightarrow \mathbf{\ddot{\theta} + \frac{mgL}{J_\Delta}\theta = 0}$. 2- En injectant la solution dans l'équation : $-(\frac{2\pi}{T_0})^2 \theta_m \cos(...) + \frac{mgL}{J_\Delta} \theta_m \cos(...) = 0 \Rightarrow \omega_0^2 = \frac{mgL}{J_\Delta}$.
Donc $\mathbf{T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J_\Delta}{mgL}}}$. 3- Graphiquement $T_0 \approx 0,5 \text{ s}$. $J_\Delta = \frac{T_0^2 mgL}{4\pi^2} = \frac{0,5^2 \times 0,4 \times 9,8 \times 0,5}{40} \approx \mathbf{7,84 \times 10^{-3} \text{ kg.m}^2}$.
4- Calculer la valeur de la vitesse linéaire $V_G$ et l'accélération $a_G$ de G lors de son passage par la position d'équilibre. (0,5 pt)
5- Trouver l'expression de l'énergie cinétique de l'oscillateur en fonction de $\theta, \theta_m, L, g$ et $m$. Déduire sa valeur lors du passage de l'oscillateur par sa position d'équilibre. (0,75 pt)
4- À l'équilibre ($\theta=0$), la vitesse angulaire est maximale : $\dot{\theta}_{max} = \theta_m \frac{2\pi}{T_0}$.
$V_G = L \dot{\theta}_{max} = 0,5 \times 0,1 \times \frac{2\pi}{0,5} \approx \mathbf{1,178 \text{ m.s}^{-1}}$.
L'accélération normale est $a_G = \frac{V_G^2}{L} = \frac{1,178^2}{0,5} \approx \mathbf{2,775 \text{ m.s}^{-2}}$. 5- Conservation de l'énergie mécanique : $E_m = E_c + E_{pp} = \text{cste}$.
À $\theta=\theta_m$, $E_c=0$ et $E_{pp} = mgL(1-\cos\theta_m) \approx \frac{1}{2}mgL\theta_m^2$.
À $\theta$ quelconque : $\frac{1}{2}J_\Delta \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mgL\theta^2 = \frac{1}{2}mgL\theta_m^2$. Or $E_c = \frac{1}{2}m V_G^2 \approx \frac{1}{2}m L^2 \dot{\theta}^2$. En utilisant $J_\Delta \approx mL^2$ (approximation pendule simple) ou directement par bilan :
$E_c = \frac{1}{2}mgL(\theta_m^2 - \theta^2)$.
À l'équilibre ($\theta=0$) : $E_c = \frac{1}{2}mgL\theta_m^2 = 0,5 \times 0,4 \times 9,8 \times 0,5 \times 0,1^2 = \mathbf{0,022 \text{ J}}$.
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