Examen National Bac 2024 — Mathématiques NS 22F

INSTRUCTIONS GÉNÉRALES

L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée ;
Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient ;
L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.

COMPOSANTES DU SUJET

L'épreuve est composée de quatre exercices et un problème, indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit :

Exercice 1	Suites numériques	3 points
Exercice 2	Géométrie dans l'espace	3 points
Exercice 3	Nombres complexes	4 points
Exercice 4	Calcul des probabilités	2 points
Problème	Étude de fonctions numériques et calcul intégral	8 points

On désigne par z̄ le conjugué du nombre complexe z et par |z| son module
ln désigne la fonction logarithme népérien

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Exercice 1 (3 points) : Suites numériques

On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 4 et u_n+1 = (4u_n − 2) / (1 + u_n), pour tout entier naturel n.

0.25

1) a) Vérifier que u_n+1 = 4 − 6/(1 + u_n), pour tout entier naturel n.

0.5

b) Montrer par récurrence que 2 ≤ u_n ≤ 4, pour tout entier naturel n.

0.25

2) a) Montrer que u_n+1 − u_n = (u_n − 1)(2 − u_n) / (1 + u_n), pour tout entier naturel n.

0.5

b) Montrer que la suite (u_n) est décroissante et en déduire que (u_n) est convergente.

3) Soit (v_n) la suite numérique définie par v_n = (2 − u_n) / (1 − u_n), pour tout entier naturel n.

0.5

a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 2/3.

0.5

b) Montrer que u_n = 1 + 1 / (1 − (2/3)ⁿ⁺¹), pour tout entier naturel n.

0.5

c) Calculer la limite de la suite (u_n).

Correction — Exercice 1

1a) On part de u_n+1 = (4u_n − 2)/(1 + u_n). En ajoutant et soustrayant au numérateur :
u_n+1 = [4(1 + u_n) − 6] / (1 + u_n) = 4 − 6/(1 + u_n). ✓

1b) Initialisation : Pour n = 0 : u₀ = 4, donc 2 ≤ 4 ≤ 4. ✓
Hérédité : Supposons 2 ≤ u_k ≤ 4. Alors 3 ≤ 1 + u_k ≤ 5, donc 6/5 ≤ 6/(1+u_k) ≤ 2.
Ainsi 2 = 4 − 2 ≤ u_k+1 = 4 − 6/(1+u_k) ≤ 4 − 6/5 = 14/5 ≤ 4. Hérédité établie. ✓

2a) u_n+1 − u_n = 4 − 6/(1+u_n) − u_n = (4 − u_n)(1 + u_n) − 6) / (1+u_n) = (4 + 4u_n − u_n − u_n² − 6) / (1+u_n) = (u_n − 1)(2 − u_n) / (1+u_n). ✓

2b) Puisque 2 ≤ u_n ≤ 4 : u_n − 1 ≥ 1 > 0, 2 − u_n ≤ 0, 1 + u_n > 0.
Donc u_n+1 − u_n ≤ 0 : la suite est décroissante. Minorée par 2 et décroissante → convergente. ✓

3a) v_n+1 = (2 − u_n+1) / (1 − u_n+1). En substituant la relation de récurrence et simplifiant, on obtient v_n+1 = (2/3)v_n. Suite géométrique de raison q = 2/3. ✓

3b) On a v₀ = (2−4)/(1−4) = 2/3, donc v_n = (2/3)ⁿ⁺¹. En isolant u_n de v_n = (2−u_n)/(1−u_n) : u_n = 1 + 1/(1 − (2/3)ⁿ⁺¹). ✓

3c) Puisque |2/3| < 1, lim (2/3)ⁿ⁺¹ = 0, donc lim u_n = 1 + 1/(1−0) = 2. ✓

▸ Total Exercice 1 : 3 pts

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Exercice 2 (3 points) : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O, i, j, k), on considère les deux points A(−1, 0, −1) et B(1, 2, −1), le plan (P) passant par A et de vecteur normal n⃗(2, −2, 1) et la sphère (S) de centre Ω(2, −1, 0) et de rayon √5.

0.25

1) Montrer que 2x − 2y + z + 3 = 0 est une équation cartésienne du plan (P).

0.25

2) Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S).

0.5

3) a) Vérifier que la distance du point Ω au plan (P) est d(Ω, (P)) = 3.

0.5

b) En déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ) de rayon à déterminer.

0.5

4) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par Ω et perpendiculaire au plan (P).

0.5

b) Montrer que le point H(0, 1, −1) est le centre du cercle (Γ).

0.5

c) Montrer que la droite (Δ) est une médiatrice du segment [AB].

Correction — Exercice 2

1) Équation du plan passant par A(−1,0,−1) de normale n(2,−2,1) :
2(x+1) − 2(y−0) + 1(z+1) = 0 ⟺ 2x + 2 − 2y + z + 1 = 0 ⟺ 2x − 2y + z + 3 = 0. ✓

2) (S) : (x−2)² + (y+1)² + z² = 5. ✓

3a) d(Ω,(P)) = |2(2) − 2(−1) + 0 + 3| / √(4+4+1) = |4+2+3| / 3 = 9/3 = 3. ✓

3b) Comme d = 3 < √5 ≈ 2.24… Attention : d = 3 et R = √5 ≈ 2.24.
Ici d > R, donc le plan ne coupe pas la sphère. (Vérification selon le sujet officiel : d = 3 et R = √5, rayon du cercle = √(R²−d²) n'est défini que si R > d. Il semble y avoir une incohérence dans le sujet — la correction officielle mentionne malgré tout ce cercle, ce qui suggère une erreur d'énoncé ou de données.)

4a) (Δ) : { x = 2+2t ; y = −1−2t ; z = t }, t ∈ ℝ. ✓

4b) On résout l'intersection de (Δ) avec (P) :
2(2+2t) − 2(−1−2t) + t + 3 = 0 ⟹ 4+4t+2+4t+t+3 = 0 ⟹ 9t+9 = 0 ⟹ t = −1.
Donc H = (2−2, −1+2, −1) = (0, 1, −1). ✓

4c) Milieu de [AB] : M = ((−1+1)/2, (0+2)/2, (−1−1)/2) = (0, 1, −1) = H. Et (Δ) ⊥ (P), or AB est parallèle à (P) (à vérifier). Ainsi (Δ) passe par le milieu de [AB] et est perpendiculaire à AB → médiatrice. ✓

▸ Total Exercice 2 : 3 pts

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Exercice 3 (4 points) : Nombres complexes

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u⃗, v⃗), on considère les points A et B d'affixes respectives a = √3(1 − i) et b = 2 + √3 + i.

0.5

1) Vérifier que |a| = √6 et que arg(a) ≡ −π/4 [2π].

0.75

2) a) Montrer que b/a = (3+√3)/6 + ((1+√3)/2)i puis vérifier que b/a = ((3+√3)/3)e^iπ/3.

0.75

b) En déduire une forme trigonométrique du complexe b puis vérifier que b²⁴ est un nombre réel.

3) Soit R la rotation de centre O et d'angle π/6, qui transforme chaque point M du plan d'affixe z en un point M' d'affixe z'. On pose R(B) = B', R(A) = A' et R(A') = A''.

0.5

a) Vérifier que z' = ½(√3 + i)z et que arg(a') ≡ −π/12 [2π] où a' est l'affixe du point A'.

0.5

b) Montrer que l'affixe du point A'' est a'' = √6 e^iπ/12 et en déduire que les points O, A'' et B sont alignés.

0.5

c) Montrer que b', l'affixe du point B', vérifie b' = ((3+√3)/3)ā.

0.5

d) En déduire que le triangle OAB' est rectangle en O.

Correction — Exercice 3

1) |a| = |√3(1−i)| = √3 · √2 = √6. ✓
a = √3 − √3 i = √6(cos(−π/4) + i sin(−π/4)), donc arg(a) = −π/4. ✓

2a) b/a = (2+√3+i) / (√3(1−i)). Multiplier par le conjugué (1+i)/2 :
b/a = (2+√3+i)(1+i) / (√3 · 2) = ((2+√3) + i(2+√3) + i − 1) / (2√3) = ((1+√3) + i(3+√3)) / (2√3)
= (1+√3)/(2√3) + i(3+√3)/(2√3) = (3+√3)/6 + i(1+√3)/2. ✓
Module : |b/a| = √(...) = (3+√3)/3. Argument : π/3. Donc b/a = ((3+√3)/3)e^iπ/3. ✓

2b) b = a · (b/a) = √6 e^−iπ/4 · ((3+√3)/3)e^iπ/3 = √6·(3+√3)/3 · e^iπ/12.
b²⁴ = (√6·(3+√3)/3)²⁴ · e^i·24π/12 = (...) · e^2iπ = (...) · 1 ∈ ℝ. ✓

3a) Rotation d'angle π/6 : z' = e^iπ/6z = (√3+i)/2 · z. ✓
a' = e^iπ/6 · √6 e^−iπ/4 = √6 e^{i(π/6 − π/4)} = √6 e^−iπ/12, donc arg(a') = −π/12. ✓

3b) a'' = e^iπ/6 · a' = e^iπ/6 · √6 e^−iπ/12 = √6 e^iπ/12. ✓
arg(b) = π/12 = arg(a'') et les modules sont proportionnels → O, A'' et B alignés. ✓

3c) b' = e^iπ/6 · b = e^iπ/6 · √6·(3+√3)/3 · e^iπ/12. D'autre part ā = √6 e^iπ/4. Calcul mène à b' = ((3+√3)/3)ā. ✓

3d) b' = ((3+√3)/3)ā, donc b'/a = ((3+√3)/3) · ā/a = ((3+√3)/3) · e^{−i·2·(−π/4)} = ((3+√3)/3) · e^iπ/2.
L'argument de b'/a est π/2 → triangle OAB' rectangle en O. ✓

▸ Total Exercice 3 : 4 pts

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Exercice 4 (2 points) : Calcul des probabilités

Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro 1, deux boules portant le numéro 2 et une boule portant le numéro 3. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.

0.5

1) Montrer que p(A) = 1/3, où A est l'évènement « les deux boules tirées portent le même numéro ».

0.5

2) Montrer que p(B) = 5/21, où B est l'évènement « la somme des numéros des boules tirées est 4 ».

0.5

3) Calculer p(A ∩ B).

0.5

4) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.

Correction — Exercice 4

Card(Ω) = C₇² = 21.

1) Cas favorables à A : deux numéros 1 → C₄² = 6 ; deux numéros 2 → C₂² = 1. Total = 7.
p(A) = 7/21 = 1/3. ✓

2) Somme = 4 : paires (1,3) → 4 × 1 = 4 cas ; paire (2,2) → 1 cas. Total = 5.
p(B) = 5/21. ✓

3) A ∩ B : même numéro ET somme = 4 → seulement (2,2). p(A ∩ B) = 1/21. ✓

4) p(A) × p(B) = (1/3) × (5/21) = 5/63. p(A ∩ B) = 1/21 = 3/63.
5/63 ≠ 3/63 → A et B ne sont pas indépendants. ✓

▸ Total Exercice 4 : 2 pts

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Problème (8 points) : Étude de fonctions numériques et calcul intégral

Partie I :

On considère les deux fonctions u et v définies sur ℝ par : u(x) = eˣ et v(x) = x.

0.5

1) Tracer dans un même repère orthonormé les courbes (C_u) et (C_v) des fonctions u et v.

0.25

2) Justifier graphiquement que eˣ − x > 0 pour tout x de ℝ.

0.5

3) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (C_u), la courbe (C_v) et les droites d'équations x = 0 et x = 1.

Partie II :

On considère la fonction numérique f définie par f(x) = x + 1 − ln(eˣ − x).

0.25

1) a) Vérifier que f est définie sur ℝ.

0.5

b) Montrer que pour tout x ∈ ℝ : f(x) = 1 − ln(1 − xe^−x).

0.5

c) En déduire que lim_x→+∞ f(x) = 1, puis interpréter géométriquement ce résultat.

0.25

2) a) Calculer lim_x→−∞ f(x).

0.5

b) Vérifier que pour tout x < 0 : f(x) = x + 1 − ln(−x) − ln(1 − 1/(xe^−x)).

0.75

c) Calculer lim_x→−∞ f(x)/x puis déduire que la courbe (C_f) admet une branche parabolique de direction la droite y = x au voisinage de −∞.

0.5

3) a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ : f'(x) = (1 − x)/(eˣ − x).

0.5

b) Étudier le signe de la fonction dérivée de f, puis déduire le tableau de variations de f sur ℝ.

0.75

c) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle ]−1, 0[.

4) La courbe (C_f) est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.

0.5

a) Justifier graphiquement que l'équation f(x) = x admet deux solutions α et β.

0.5

b) Montrer que : e^α − e^β = α − β.

5) Soit g la restriction de la fonction f sur l'intervalle I = ]−∞, 1].

0.5

a) Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur un intervalle J que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer g⁻¹(x)).

0.75

b) Vérifier que g⁻¹ est dérivable en 1 et calculer (g⁻¹)'(1).

Correction — Problème

Partie I

2) La courbe C_u est strictement au-dessus de la droite C_v (pas d'intersection), donc eˣ − x > 0 pour tout x ∈ ℝ. ✓

3) S = ∫₀¹(eˣ − x)dx = [eˣ − x²/2]₀¹ = (e − 1/2) − (1 − 0) = e − 3/2 u.a. ✓

Partie II

1a) eˣ − x > 0 pour tout x ∈ ℝ (d'après Partie I), donc ln(eˣ − x) est bien défini sur ℝ. ✓

1b) f(x) = x + 1 − ln(eˣ − x) = x + 1 − ln(eˣ(1 − xe^−x)) = x + 1 − x − ln(1 − xe^−x) = 1 − ln(1 − xe^−x). ✓

1c) Quand x → +∞ : xe^−x → 0, donc ln(1 − xe^−x) → 0, et f(x) → 1. Asymptote horizontale y = 1. ✓

2a) x → −∞ : eˣ → 0 et −x → +∞, donc eˣ − x → +∞, et ln(eˣ − x) → +∞. Ainsi lim f(x) = −∞. ✓

2c) f(x)/x = (x + 1 − ln(eˣ − x))/x → 1 quand x → −∞. Branche parabolique de direction y = x. ✓

3a) f'(x) = 1 − (eˣ − 1)/(eˣ − x) = (eˣ − x − eˣ + 1)/(eˣ − x) = (1 − x)/(eˣ − x). ✓

3b) eˣ − x > 0 toujours. 1 − x > 0 ⟺ x < 1. Donc f' > 0 sur ]−∞, 1[ et f' < 0 sur ]1, +∞[. f croît puis décroît ; maximum en x = 1. ✓

3c) f(−1) = −1 + 1 − ln(e⁻¹ + 1) = −ln(1 + 1/e) < 0. f(0) = 1 − ln(1) = 1 > 0.
f continue, f(−1) < 0 < f(0) → par TVI, ∃ solution unique α ∈ ]−1, 0[ (unicité car f strictement croissante sur cet intervalle). ✓

4b) f(α) = α et f(β) = β. Cela donne α + 1 − ln(e^α − α) = α et idem pour β. Par soustraction : ln(e^α − α) − ln(e^β − β) = 0, donc e^α − α = e^β − β, soit e^α − e^β = α − β. ✓

5a) g est strictement croissante sur I = ]−∞, 1] (d'après 3b). Elle est continue → bijection sur J = g(I) = ]−∞, g(1)] = ]−∞, f(1)] = ]−∞, 2 − ln(e−1)]. ✓

5b) g(1) = 1 + 1 − ln(e − 1) = 2 − ln(e−1). On vérifie que g'(1) = (1−1)/(e−1) = 0... Cela signifie que g n'est pas dérivable en g⁻¹(1) au sens classique. Mais on cherche (g⁻¹)' en 1. Il faut d'abord trouver g⁻¹(1) : g(x) = 1 ⟹ f(x) = 1 ⟹ 1 − ln(eˣ − x) = 1 ⟹ eˣ − x = 1 ⟹ x = 0.
Donc g⁻¹(1) = 0 et g'(0) = (1−0)/(e⁰−0) = 1. Ainsi (g⁻¹)'(1) = 1/g'(0) = 1. ✓

▸ Total Problème : 8 pts | Total Épreuve : 20 pts

Questions	Notes	Éléments de réponse
Exercice 1 (3 pts)
1-a	0.25	0.25 pour le calcul.
1-b	0.5	0.25 pour l'initialisation et 0.25 pour p(n) ⟹ p(n+1)
2-a	0.25	0.25 pour le calcul
2-b	0.5	2 × 0.25
3-a	0.5	0.25 pour la méthode et 0.25 pour le reste des calculs.
3-b	0.5	0.25 pour le calcul de v_n en fonction de n et 0.25 pour le résultat.
3-c	0.5	0.25 pour la limite et 0.25 pour la justification.
Exercice 2 (3 pts)
1	0.25	0.25
2	0.25	0.25
3-a	0.5	0.25 pour la formule et 0.25 pour le calcul.
3-b	0.5	0.25 pour la déduction et 0.25 pour le calcul du rayon.
4-a	0.5	0.25 pour la méthode et 0.25 pour la représentation paramétrique.
4-b	0.5	0.25 pour la méthode et 0.25 pour le résultat.
4-c	0.5	0.25 pour l'orthogonalité et 0.25 pour H milieu de [AB]
Exercice 3 (4 pts)
1	0.5	0.25 pour le module et 0.25 pour l'argument
2-a	0.75	0.5 + 0.25
2-b	0.75	0.5 + 0.25
3-a	0.5	2 × 0.25
3-b	0.5	2 × 0.25
3-c	0.5	0.5
3-d	0.5	0.5
Exercice 4 (2 pts)
1	0.5	0.25 pour la formule et 0.25 pour le calcul de p(A) = 1/3
2	0.5	0.25 pour la formule et 0.25 pour le calcul de p(B) = 5/21
3	0.5	0.25 pour card(A∩B) = 1 et 0.25 pour p(A∩B) = 1/21
4	0.5	0.25 pour la réponse et 0.25 pour la justification
Problème (8 pts)
Partie I
1	0.5	0.25 pour chaque courbe.
2	0.25	0.25 pour la justification.
3	0.5	0.25 pour la formule de l'aire et 0.25 pour le calcul
Partie II
1-a	0.25	0.25
1-b	0.5	0.5
1-c	0.5	2 × 0.25
2-a	0.25	0.25 pour la limite
2-b	0.5	0.5 pour le calcul.
2-c	0.75	0.5 pour la limite et 0.25 pour la déduction
3-a	0.5	0.25 pour la méthode et 0.25 pour le calcul.
3-b	0.5	2 × 0.25
3-c	0.75	0.5 pour l'application de T.V.I et 0.25 pour l'unicité.
4-a	0.5	0.5
4-b	0.5	0.25 pour f(α) = α et f(β) = β et 0.25 pour la relation e^α − e^β = α − β
5-a	0.5	0.25 pour l'existence de g⁻¹ et 0.25 pour l'intervalle J
5-b	0.75	0.25 + 0.5