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**I
الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا
الدورة الاستدراكية 2024 — الموضوع
المركز الوطني للتقويم والامتحانات
RS 22F
المملكة المغربية
وزارة التربية الوطنية
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSS-SSSS RS 22F
3h
مدة الإنجاز
المادة
الرياضيات
7
المعامل
مسلك علوم الحياة والأرض
ومسلك العلوم الفيزيائية (خيار فرنسية)
Instructions Générales
  • L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée ;
  • Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient ;
  • L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.
Composantes du Sujet

L'épreuve est composée de trois exercices et un problème, indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit :

Exercice 1Géométrie dans l'espace3 points
Exercice 2Nombres complexes4 points
Exercice 3Calcul des probabilités2 points
ProblèmeÉtude de fonctions numériques, calcul intégral et suites numériques11 points
  • On désigne par z̄ le conjugué du nombre complexe z et par |z| son module.
  • ln désigne la fonction logarithme népérien.
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Exercice 1 3 points

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗, k⃗), on considère les deux points A(1, 1, 0) et Ω(−1, 1, −2) et le plan (P) d'équation x + z − 1 = 0.
1
0.5
a) Vérifier que A est un point du plan (P) et donner un vecteur normal de (P).
0.5
b) Montrer que la droite (ΩA) est perpendiculaire au plan (P).
2
Soit (S) l'ensemble des points M(x, y, z) de l'espace vérifiant :
x² + y² + z² + 2x − 2y + 4z − 3 = 0
0.5
a) Montrer que (S) est une sphère de centre Ω et déterminer son rayon.
0.5
b) Montrer que (P) coupe (S) suivant un cercle de centre A, puis déterminer son rayon.
3
Soit (Qm) un plan d'équation x + y + mz − 2 = 0, où m est un nombre réel.
0.25
a) Vérifier que A est un point du plan (Qm), pour tout m ∈ ℝ.
0.5
b) Déterminer la valeur du réel m pour que (Qm) soit perpendiculaire au plan (P).
0.25
c) Existe-t-il un plan (Qm) qui coupe la sphère (S) suivant un cercle de centre A ? Justifier.
Barème : 3 pts
Exercice 1 — Correction

1a) On substitue A(1,1,0) dans l'équation du plan : 1 + 0 − 1 = 0 ✓. Le plan (P) a pour vecteur normal n⃗(1, 0, 1). ✓


1b) Vecteur directeur de (ΩA) : ΩA⃗ = A − Ω = (1−(−1), 1−1, 0−(−2)) = (2, 0, 2). Or (2, 0, 2) = 2·(1, 0, 1) = 2·n⃗, donc (ΩA) est colinéaire à n⃗, et donc perpendiculaire à (P). ✓


2a) On complète le carré : (x+1)² + (y−1)² + (z+2)² = 1 + 1 + 4 + 3 = 9. C'est une sphère de centre Ω(−1, 1, −2) et de rayon r = 3. ✓


2b) Distance de Ω au plan (P) : d = |−1 + (−2) − 1| / √(1²+0²+1²) = |−4| / √2 = 4/√2 = 2√2. A est le pied de la perpendiculaire de Ω sur (P) (vérifié en 1b car (ΩA) ⊥ (P) et A ∈ (P)). Rayon du cercle : ρ = √(r² − d²) = √(9 − 8) = 1. ✓


3a) 1 + 1 + m·0 − 2 = 0 pour tout m. ✓ ✓


3b) n⃗P = (1,0,1) et n⃗Qm = (1,1,m). Perpendiculaires ⟺ n⃗P·n⃗Qm = 0 ⟹ 1·1 + 0·1 + 1·m = 0 ⟹ m = −1. ✓


3c) Un plan coupe la sphère suivant un cercle de centre A si et seulement si le plan passe par A et que ΩA ⊥ au plan. Or ΩA⃗ = (2,0,2) et n⃗Qm = (1,1,m). Pour que ΩA ⊥ Qm il faudrait ΩA⃗ ∥ n⃗Qm, i.e. (2,0,2) = λ(1,1,m). Cela donnerait 0 = λ·1, soit λ = 0, mais alors 2 = 0 : contradiction. Il n'existe pas un tel plan. ✓

▸ Total Exercice 1 : 3 pts
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Exercice 2 4 points

I) Équation du second degré dans ℂ
On considère dans ℂ l'équation (E) : z² − 4z + 9 = 0.
0.25
1) Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est Δ = (2i√5)².
0.5
2) Résoudre l'équation (E) dans ℂ.
II) Plan complexe et géométrie
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u⃗, v⃗), on considère les points A, B et C d'affixes respectives :
a = 2 + i√5,   b = 2 − i√5   et   c = 2 − √5.
1
0.25
a) Vérifier que |a| = 3.
0.25
b) Montrer que le triangle OAB est isocèle.
2
0.5
a) Vérifier que (a−c)/(b−c) = i.
0.5
b) Déduire la nature du triangle ABC.
3
0.5
a) Déterminer l'affixe du point D image de B par la translation de vecteur CA⃗.
0.5
b) Montrer que ADBC est un carré.
4
On pose xn = (a/3)ⁿ et yn = 1/(1−xn), avec n un entier naturel non nul.
0.25
a) Vérifier que xn · x̄n = 1.
0.5
b) Montrer que yn + ȳn = 1, puis déduire la partie réelle de yn.
Barème : 4 pts
Exercice 2 — Correction

I.1) Δ = 16 − 36 = −20 = (2i√5)². ✓


I.2) z = (4 ± 2i√5)/2. Solutions : z₁ = 2 + i√5 et z₂ = 2 − i√5. ✓


II.1a) |a| = √(4 + 5) = √9 = 3. ✓


II.1b) |a| = |b| = 3 donc OA = OB = 3 : le triangle OAB est isocèle en O. ✓


II.2a) a − c = (2+i√5) − (2−√5) = √5 + i√5 = √5(1+i). b − c = (2−i√5) − (2−√5) = √5 − i√5 = √5(1−i). Rapport : √5(1+i) / √5(1−i) = (1+i)²/((1−i)(1+i)) = (2i)/2 = i. ✓


II.2b) |a−c|/|b−c| = 1 (module de i) donc CA = CB, et arg = π/2 donc (CB⃗, CA⃗) = π/2 : le triangle ABC est rectangle et isocèle en C. ✓


II.3a) Affixe de D : d = b + (a−c) = (2−i√5) + (√5+i√5) = (2+√5) + i(√5−√5) = 2+√5. d = 2+√5. ✓


II.3b) On vérifie que les 4 côtés sont égaux et que les diagonales se coupent en leur milieu à angles droits. ADBC est un carré. ✓


II.4a) xn·x̄n = |xn|² = |a/3|²ⁿ = (|a|/3)²ⁿ = (3/3)²ⁿ = 1. ✓


II.4b) yn + ȳn = 1/(1−xn) + 1/(1−x̄n) = [(1−x̄n) + (1−xn)] / [(1−xn)(1−x̄n)]. Numérateur = 2 − (xn+x̄n). Dénominateur = 1 − (xn+x̄n) + xnx̄n = 1 − (xn+x̄n) + 1. En posant s = xn+x̄n : résultat = (2−s)/(2−s) = 1. Donc yn + ȳn = 1. Comme yn + ȳn = 2 Re(yn), on obtient Re(yn) = 1/2. ✓

▸ Total Exercice 2 : 4 pts
✦ ✦ ✦

Exercice 3 2 points

Une urne contient huit boules : quatre boules blanches, trois boules noires et une boule verte. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne.
0.25
1) Vérifier que le nombre de tirages possibles est égal à 336.
0.5
2) Calculer la probabilité de l'événement A : «Tirer trois boules blanches».
0.75
3) Montrer que la probabilité de l'événement B : «Tirer trois boules de même couleur» est p(B) = 5/56.
0.5
4) Calculer la probabilité de l'événement C : «Obtenir au moins deux couleurs différentes». En déduire p(C).
Barème : 2 pts
Exercice 3 — Correction

1) Tirages ordonnés sans remise : A₈³ = 8 × 7 × 6 = 336. ✓


2) card(A) = A₄³ = 4×3×2 = 24. Donc p(A) = 24/336 = 1/14. ✓


3) B = 3 blanches OU 3 noires OU 3 vertes (impossible : 1 seule verte). card(B) = A₄³ + A₃³ = 24 + 6 = 30. p(B) = 30/336 = 5/56. ✓


4) C = B̄ (complémentaire de B). p(C) = 1 − 5/56 = 51/56. ✓

▸ Total Exercice 3 : 2 pts
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Problème 11 points

Partie I — Inégalités et suites
La figure ci-contre représente les courbes (Cg) et (Ch) des fonctions g : x ↦ x/(1+x) et h : x ↦ ln(1+x) sur l'intervalle ]−1, +∞[ et la droite d'équation y = x, dans un même repère orthonormé.
Soit (un) la suite définie par u₀ = 1 et un+1 = g(un).
figure
1
0.5
a) À partir de la figure, justifier que : x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x, pour tout x ∈ ]−1, +∞[.
0.25
b) En déduire que (1+x)ln(1+x) − x ≥ 0, pour tout x ∈ ]−1, +∞[.
0.5
c) Prouver que eˣ − (1+eˣ)ln(1+eˣ) ≤ 0, pour tout x ∈ ℝ.
2
0.5
a) Montrer par récurrence que 0 < un ≤ 1, pour tout n ∈ ℕ.
0.5
b) Montrer que la suite (un) est décroissante. (On peut utiliser la question 1a))
0.25
c) En déduire que la suite (un) est convergente.
0.75
d) Déterminer la limite de (un).
Partie II — Étude de la fonction f
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par f(x) = e−x ln(1+eˣ). Soit (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗).
1
0.5
a) Calculer f(0) et vérifier que f(x) > 0, pour tout x ∈ ℝ.
0.5
b) Montrer que limx→−∞ f(x) = 1, puis donner une interprétation géométrique.
0.5
c) Montrer que limx→+∞ f(x) = 0, puis donner une interprétation géométrique.
2
0.5
a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ : f′(x) = 1/(1+eˣ) − e−xln(1+eˣ).
0.5
b) Vérifier que pour tout x ∈ ℝ : f′(x) = [eˣ − (1+eˣ)ln(1+eˣ)] / [eˣ(1+eˣ)].
0.5
c) Déduire que f est strictement décroissante sur ℝ. (Utiliser la question 1c) de la Partie I)
3
0.5
a) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) au point d'abscisse 0.
0.25
b) Vérifier que la tangente (T) passe par le point A(1, 1/2).
0.75
c) Construire (T) et la courbe (Cf) dans le repère (O, i⃗, j⃗). (On prend ln 2 ≈ 0,7)
4
0.5
a) Montrer que f admet une fonction réciproque f−1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer f−1(x))
0.5
b) Vérifier que f−1 est dérivable en ln 2 et calculer (f−1)′(ln 2).
5
Soit λ un réel strictement positif.
0.25
a) Vérifier que 1/(1+eˣ) = e−x/(1+e−x), pour tout x ∈ ℝ.
0.5
b) Montrer que ∫₀^λ 1/(1+eˣ) dx = ln(2) − ln(1+e−λ).
0.5
c) Montrer que ∫₀^λ f(x) dx = ln(2) − f(λ) + ∫₀^λ 1/(1+eˣ) dx. (Remarquer que f(x) = 1/(1+eˣ) − f′(x))
0.5
d) Déduire, en fonction de λ, l'aire Aλ de la partie du plan délimitée par la courbe (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = λ.
0.5
e) Calculer limλ→+∞ Aλ.
Barème : 11 pts
Problème — Correction

Partie I — 1a) La figure montre que sur ]−1,+∞[, la courbe (Cg) est en dessous de (Ch), elle-même en dessous de la droite y=x. Donc x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x. ✓


1b) De ln(1+x) ≤ x : multiplier par (1+x) > 0 : (1+x)ln(1+x) ≤ x(1+x)... En fait, de x/(1+x) ≤ ln(1+x), on multiplie par (1+x) > 0 : x ≤ (1+x)ln(1+x), soit (1+x)ln(1+x) − x ≥ 0. ✓


1c) On pose t = eˣ > 0. Alors eˣ − (1+eˣ)ln(1+eˣ) = t − (1+t)ln(1+t). D'après 1b) avec x = t : (1+t)ln(1+t) ≥ t, donc eˣ − (1+eˣ)ln(1+eˣ) ≤ 0. ✓


2a) Init : u₀ = 1 ∈ ]0,1]. Hér. : si 0 < un ≤ 1, alors un+1 = un/(1+un). Puisque un > 0 et 1+un > 0, on a un+1 > 0. Et un+1 = un/(1+un) ≤ un ≤ 1. ✓ ✓


2b) un+1 − un = un/(1+un) − un = un[1/(1+un) − 1] = −un²/(1+un) ≤ 0. Donc (un) est décroissante. ✓


2c) Suite décroissante et minorée par 0 → convergente. ✓


2d) Soit ℓ = lim un. Par passage à la limite dans un+1 = g(un) (g continue) : ℓ = ℓ/(1+ℓ), soit ℓ(1+ℓ) = ℓ, d'où ℓ² = 0 → ℓ = 0. ✓


II.1a) f(0) = e⁰ ln(1+1) = ln 2 ≈ 0.7 > 0. Pour tout x : e−x > 0 et ln(1+eˣ) > 0 (car 1+eˣ > 1), donc f(x) > 0. ✓


II.1b) x→−∞ : eˣ → 0⁺ donc ln(1+eˣ) ∼ eˣ, et f(x) = e−xln(1+eˣ) ∼ e−x·eˣ = 1. Donc lim f(x) = 1. Géom. : y = 1 est asymptote horizontale à gauche. ✓


II.1c) f(x) = e−xln(1+eˣ) = e−x[ln(eˣ) + ln(1+e−x)] = e−x[x + ln(1+e−x)]. Quand x→+∞ : e−x·x → 0 et e−xln(1+e−x) → 0. Donc lim f(x) = 0. Géom. : l'axe y=0 est asymptote horizontale à droite. ✓


II.2a) f(x) = e−x·ln(1+eˣ). Par la règle du produit : f′(x) = −e−x·ln(1+eˣ) + e−x·eˣ/(1+eˣ) = 1/(1+eˣ) − e−xln(1+eˣ). ✓


II.2b) Réduction au même dénominateur eˣ(1+eˣ) : numérateur = eˣ − (1+eˣ)ln(1+eˣ). ✓


II.2c) D'après I.1c) : eˣ − (1+eˣ)ln(1+eˣ) ≤ 0, et eˣ(1+eˣ) > 0. Donc f′(x) ≤ 0, et f′(x) = 0 seulement si le numérateur = 0 (jamais d'après I.1c strictement). Donc f est strictement décroissante. ✓


II.3a) f(0) = ln 2, f′(0) = 1/2 − 1·ln 2 = 1/2 − ln 2. Équation de (T) : y = (1/2 − ln 2)x + ln 2. ✓


II.3b) En x = 1 : y = (1/2 − ln 2)·1 + ln 2 = 1/2. Donc A(1, 1/2) ∈ (T). ✓


II.4a) f est continue et strictement décroissante sur ℝ, avec f(ℝ) = ]0, 1[ (d'après les limites). Donc f est une bijection de ℝ sur J = ]0, 1[, et admet une réciproque f−1 : J → ℝ. ✓


II.4b) On cherche x₀ tel que f(x₀) = ln 2 : f(0) = ln 2, donc x₀ = 0, et f′(0) = 1/2 − ln 2 ≠ 0. Donc f−1 est dérivable en ln 2 et (f−1)′(ln 2) = 1/f′(0) = 1/(1/2 − ln 2). ✓


II.5a) e−x/(1+e−x) = (e−x/1)/((1+e−x)/1). Multiplier num. et dén. par eˣ : 1/(eˣ+1) = 1/(1+eˣ). ✓


II.5b) ∫₀^λ 1/(1+eˣ)dx = ∫₀^λ e−x/(1+e−x)dx = [−ln(1+e−x)]₀^λ = −ln(1+e−λ) + ln(2). = ln(2) − ln(1+e−λ). ✓


II.5c) On utilise f(x) = 1/(1+eˣ) − f′(x). Donc ∫₀^λ f(x)dx = ∫₀^λ 1/(1+eˣ)dx − ∫₀^λ f′(x)dx = ∫₀^λ 1/(1+eˣ)dx − [f(λ)−f(0)] = ln 2 − f(λ) + ∫₀^λ 1/(1+eˣ)dx. ✓


II.5d) Aλ = ∫₀^λ f(x) dx = ln 2 − f(λ) + ln 2 − ln(1+e−λ). Aλ = 2ln 2 − f(λ) − ln(1+e−λ). ✓


II.5e) Quand λ→+∞ : f(λ)→0 et ln(1+e−λ)→ln 1 = 0. Donc lim Aλ = 2ln 2. ✓

▸ Total Problème : 11 pts | Total Épreuve : 20 pts
Examen National Unifié du Baccalauréat — Dورة Istidrakiya 2024 — Mathématiques RS 22F / RR 22F
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