Examen National PC 2024
Session Normale - Sciences Physiques (BIOF)
L'usage de la calculatrice scientifique non programmable est autorisé. On donnera les expressions littérales avant de passer aux applications numériques. Les exercices peuvent être traités selon l'ordre choisi par le candidat.
- Exercice 1 : Chimie (7 points) - Suivi temporel d'une transformation chimique / Dosage d'une solution aqueuse
- Exercice 2 : Physique (2,5 points) - Propagation d'un signal mécanique
- Exercice 3 : Physique (2 points) - Désintégration d'un radioélément
- Exercice 4 : Physique (3,5 points) - Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL / Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension
- Exercice 5 : Physique (5 points) - Chute verticale d'une bille dans un liquide / Mouvement d'un système mécanique
Exercice 1: Chimie (7 points)
Partie 1: Suivi temporel de la dégradation de la vitamine C
EXERCICE 1 : Chimie (7 points)
L'acide ascorbique, de formule brute $C_{6}H_{8}O_{6}$ appelé vitamine C, est un antioxydant présent dans de nombreux fruits et légumes. La vitamine C possède des propriétés rédox et acido-basiques. Cette vitamine se dégrade à la chaleur, à l'air...
On se propose d'étudier dans cet exercice :
- Le suivi temporel de la dégradation de la vitamine C dans un jus d'orange ;
- Le dosage d'une solution aqueuse contenant de la vitamine C.
Partie 1: Suivi temporel de la dégradation de la vitamine C dans un jus d'orange
On dispose d'une solution $(S)$ de jus d'orange de volume $V=200\text{ mL}$ à une température $\theta$. Si on expose ce jus à l'air, la vitamine C qu'il contient se dégrade par oxydation avec le dioxygène. On suit, par dosage, l'évolution temporelle de la dégradation de cette vitamine.
Le graphe de la figure 1 représente l'évolution temporelle de l'avancement $x$ de la réaction d'oxydation. La droite $(T)$ représente la tangente à la courbe au point d'abscisse $t_{1}=60\text{ h}$.
- a- La concentration initiale des réactifs est un facteur cinétique.
- b- L'évolution d'un système chimique est toujours considérée comme terminée au bout d'une durée égale à deux fois le temps de demi-réaction.
- c- Plus les chocs entre les espèces réactives sont nombreux et efficaces, plus la réaction chimique est rapide.
2- Déterminer graphiquement $t_{1/2}$ le temps de demi-réaction. (0,5pt)
3- Déterminer, en unité $\text{h}^{-1}$, la vitesse volumique de la réaction à l'instant $t_{1}$. (1pt)
Partie 2: Dosage d'une solution aqueuse de la vitamine C
Un comprimé de vitamine C contient $250\text{ mg}$ d'acide ascorbique. Ce comprimé a été laissé plusieurs jours à l'air libre. La vitamine C qu'il contient a réagi avec le dioxygène de l'air. On souhaite déterminer la masse d'acide ascorbique restant dans le comprimé à l'aide d'un titrage pH-métrique.
- • Toutes les mesures sont effectuées à $25^{\circ}\text{C}$ ; Produit ionique de l'eau : $K_{e}=10^{-14}$
- • L'acide ascorbique $C_{6}H_{8}O_{6}$ est noté $AH$ et le couple associé est $AH_{(aq)}/A^{-}_{(aq)}$
- • Masse molaire : $M(AH)=176\text{ g.mol}^{-1}$
On écrase le comprimé laissé à l'air libre et on le dissout dans l'eau pour obtenir une solution aqueuse $S_{A}$ d'acide ascorbique $AH$ de concentration molaire $C_{A}$ et de volume $V_{S_{A}}=50,0\text{ mL}$.
On prend un volume $V_{A}=15,0\text{ mL}$ de $S_{A}$ auquel on ajoute progressivement un volume $V_{B}$ d'une solution aqueuse $S_{B}$ d'hydroxyde de sodium $Na^{+}_{(aq)}+HO^{-}_{(aq)}$ de concentration $C_{B}=1,50\cdot10^{-2}\text{ mol.L}^{-1}$. La courbe $(C_{1})$ de la figure 2 représente les variations de pH en fonction de $V_{B}$ et la courbe $(C_{2})$ représente les variations de $\frac{dpH}{dV_{B}}$ en fonction de $V_{B}$.
1- Écrire l'équation modélisant la réaction qui a lieu lors de ce dosage. (0,5pt)
2- Déterminer graphiquement le volume $V_{BE}$ versé à l'équivalence. (0,5pt)
3- Déterminer la valeur de $C_{A}$. (0,5pt)
4- En déduire la masse $m$ restante de vitamine C dans le comprimé laissé à l'air libre. (0,75pt)
5-1- À partir de l'expression de la constante d'acidité $K_{A}$ du couple $AH_{(aq)}/A^{-}_{(aq)}$, établir l'expression de son $pK_{A}$ en fonction du pH du mélange réactionnel et des concentrations molaires $[AH_{(aq)}]_{eq}$ et $[A^{-}_{(aq)}]_{eq}$ à l'équilibre. (0,5pt)
5-2- Pour un volume $V_{B}$ versé de $S_{B}$ tel que $0 < V_{B} < V_{BE}$, montrer, en s'aidant du tableau d'avancement, que : $\frac{[AH_{(aq)}]_{eq}}{[A^{-}_{(aq)}]_{eq}} = \frac{V_{BE}}{V_{B}} - 1$. (0,75pt)
5-3- On choisit $V_{B}=8,5\text{ mL}$. Déduire de ce qui précède la valeur du $pK_{A}$ du couple $AH_{(aq)}/A^{-}_{(aq)}$. (0,75pt)
5-4- Déterminer la valeur de la constante d'équilibre K associée à l'équation de la réaction de dosage. (0,5pt)
Figure 1
1- Répondre par vrai ou faux (sans justification) aux affirmations suivantes: (0,75 pt)
a- La concentration initiale des réactifs est un facteur cinétique.
b- L'évolution d'un système chimique est toujours considérée comme terminée au bout d'une durée égale à deux fois le temps de demi-réaction.
c- Plus les chocs entre les espèces réactives sont nombreux et efficaces, plus la réaction chimique est rapide.
- a- Vrai. La concentration initiale des réactifs est effectivement un facteur cinétique.
- b- Faux. On considère généralement qu'un système a cessé d'évoluer après $4$ à $7$ fois $t_{1/2}$, et non $2$ fois.
- c- Vrai. Selon la théorie des collisions, la vitesse dépend de la fréquence et de l'efficacité des chocs.
2- Déterminer graphiquement $t_{1/2}$ le temps de demi-réaction. (0,5 pt)
L'avancement maximal $x_{max} = 0,20\text{ mmol}$. À $t_{1/2}$, $x = x_{max}/2 = 0,10\text{ mmol}$.
3- Déterminer la vitesse volumique à $t_1 = 60\text{ h}$ en $\text{mmol.L}^{-1}\text{.h}^{-1}$. (1 pt)
$v(t) = \frac{1}{V} \cdot \frac{dx}{dt}$. Points de la tangente (T) : $A(60\text{h}; 0,14\text{ mmol})$ et $B(0\text{h}; 0,02\text{ mmol})$.
Partie 2: Dosage d'une solution aqueuse de la vitamine C
Un comprimé contient initialement $250\text{ mg}$. On l'écrase et le dissout dans $V_{SA} = 50,0\text{ mL}$ pour obtenir la solution $S_A$. On prélève $V_A = 15,0\text{ mL}$ et on dose par NaOH de $C_B = 1,50 \cdot 10^{-2}\text{ mol.L}^{-1}$. (Données: $K_e=10^{-14}$, $M(AH)=176\text{ g.mol}^{-1}$, couple $AH/A^-$).
Figure 2
1- Écrire l'équation modélisant la réaction de dosage. (0,5 pt)
2- Déterminer graphiquement le volume $V_{BE}$ versé à l'équivalence. (0,5 pt)
Par exploitation de la courbe $(C_2)$ (dérivée $\frac{dpH}{dV_B}$), l'extremum donne directement :
3- Déterminer la valeur de $C_A$. (0,5 pt)
À l'équivalence : $C_A \cdot V_A = C_B \cdot V_{BE}$.
4- En déduire la masse $m$ restante de vitamine C dans le comprimé. (0,75 pt)
$m = n(AH)_{total} \cdot M(AH) = C_A \cdot V_{SA} \cdot M(AH)$.
5-1- Établir l'expression du $pK_A$ en fonction de pH et des concentrations. (0,5 pt)
5-2- Montrer que $\frac{[AH]_{eq}}{[A^-]_{eq}} = \frac{V_{BE}}{V_B} - 1$ pour $0 < V_B < V_{BE}$. (0,75 pt)
Avant l'équivalence : $n(A^-) = C_B \cdot V_B$ et $n(AH) = C_B(V_{BE} - V_B)$.
Le rapport des concentrations dans le même volume est :
5-3- Calculer le $pK_A$ pour $V_B = 8,5\text{ mL}$. (0,75 pt)
Rapport : $\frac{10,0}{8,5} - 1 \approx 0,176$. Graphiquement, pour $V_B=8,5\text{ mL}$, $pH \approx 4,80$.
5-4- Déterminer la constante d'équilibre $K$ de la réaction de dosage. (0,5 pt)
La réaction est bien totale ($K > 10^4$).
Exercice 2: Propagation d'un signal (2,5 points)
On étudie la propagation d'un signal mécanique à la surface de l'eau.
EXERCICE 2 : Propagation d'un signal à la surface de l'eau (2,5 points)
Un caillou jeté, en un point $O$, dans une cuve contenant de l'eau de profondeur $h$, provoque la formation d'une onde circulaire qui se propage à la surface de l'eau.
1- Choisir la proposition juste parmi les propositions suivantes : (0,5pt)
- A : Une onde progressive périodique est caractérisée par sa célérité.
- B : Un milieu est dispersif si la célérité de l'onde dépend de sa période T.
- C : Lors de la diffraction dans un même milieu, la célérité de l'onde est modifiée.
- D : Les ondes mécaniques progressives peuvent se popager dans le vide.
La figure donne l'aspect de la surface de l'eau à deux instants $t_{1}$ et $t_{2}$. Le tableau suivant récapitule les valeurs des rayons du front d'onde :
| Instant $t\text{ (s)}$ | $0$ | $t_{1}$ | $t_{2} = t_{1} + 1,5$ |
|---|---|---|---|
| Rayon $r\text{ (cm)}$ | $0$ | $r_{1} = 14$ | $r_{2} = 56$ |
2-1- Déterminer la valeur de la célérité $v$ de l'onde. (0,5pt)
2-2- En déduire la valeur de l'instant $t_{1}$ et de l'instant $t_{2}$. (0,5pt)
3- On peut estimer la célérité $v$ de l'onde qui se propage à la surface d'eau par la relation : $v = \sqrt{g\cdot h}$ avec $g=9,8\text{ m.s}^{-2}$ l'intensité de la pesanteur et $h$ la profondeur de l'eau.
3-1- En utilisant les équations aux dimensions, vérifier l'homogénéité de cette relation. (0,5pt)
3-2- Calculer la valeur de la profondeur $h$. (0,5pt)
Figure (Aspect surface eau)
Tableau de données:
$t(s)$ : $0$ | $t_1$ | $t_2 = t_1 + 1,5$
$r(cm)$ : $0$ | $r_1 = 14$ | $r_2 = 56$
1- Choisir la proposition juste: (0,5 pt)
A: Une onde progressive périodique est caractérisée par sa célérité.
B: Un milieu est dispersif si la célérité de l'onde dépend de sa période T.
C: Lors de la diffraction dans un même milieu, la célérité est modifiée.
D: Les ondes mécaniques peuvent se propager dans le vide.
Réponse B. Un milieu est dispersif si la célérité dépend de la fréquence (ou période $T$).
2-1- Déterminer la célérité $v$ de l'onde. (0,5 pt)
2-2- En déduire la valeur de l'instant $t_2$. (0,5 pt)
3-1- Vérifier l'homogénéité de $v = \sqrt{g \cdot h}$. (0,5 pt)
$[g] = L \cdot T^{-2}$ et $[h] = L$, donc $[g \cdot h] = L^2 \cdot T^{-2}$.
$[\sqrt{g \cdot h}] = L \cdot T^{-1}$, ce qui est bien la dimension d'une vitesse.
3-2- Calculer $h$. (0,5 pt)
Exercice 3: Désintégration de l'iridium 192 (2 points)
EXERCICE 3 : Désintégration de l'iridium 192 (2 points)
La curiethérapie est une technique qui consiste à traiter des tumeurs cancéreuses par insertion d'une source radioactive à proximité de ces tumeurs. L'un des éléments radioactifs utilisés pour cette technique est l'iridium 192 : $_{77}^{192}\text{Ir}$.
Lors du traitement d'une tumeur, l'iridium 192 donne, par désintégration, un noyau de platine $_{78}^{192}\text{Pt}$ et une particule chargée avec émission d'un rayonnement $\gamma$ (gamma).
1- Déterminer la composition du noyau de l'iridium. (0,5pt)
2- Écrire l'équation de désintégration de l'iridium 192 en précisant le type de cette désintégration. (0,5pt)
3- À la date $t=0$, on implante à un patient un fil métallique contenant une source d'iridium 192 d'activité initiale $a_{0}=1,08\cdot10^{12}\text{ Bq}$.
3-1- Calculer $N_{0}$ le nombre de noyaux d'iridium 192 se trouvant dans cette source à $t=0$. (0,5pt)
3-2- Déterminer $N_{d}$ le nombre de noyaux d'iridium 192 désintégrés au bout de deux ans ($\Delta t=730\text{ jours}$). Commenter le résultat obtenu. (0,5pt)
Curiethérapie avec ${}_{77}^{192}\text{Ir} \rightarrow {}_{78}^{192}\text{Pt} + \text{particule} + \gamma$. $t_{1/2} = 74\text{ jours} = 6,3936 \cdot 10^6\text{ s}$. Activité initiale $a_0 = 1,08 \cdot 10^{12}\text{ Bq}$.
1- Déterminer la composition du noyau d'iridium. (0,5 pt)
$Z = 77$ protons. $N = 192 - 77 = 115$ neutrons.
2- Écrire l'équation de désintégration et préciser le type. (0,5 pt)
Soddy: $192=192+A'$, $77=78+Z' \Rightarrow Z'=-1$.
Type: Bêta moins ($\beta^-$).
3-1- Calculer $N_0$ à $t=0$. (0,5 pt)
3-2- Déterminer $N_d$ au bout de 2 ans (730 jours). Commenter. (0,5 pt)
$N_d = N_0(1 - e^{-\lambda t})$. $\lambda t = \ln(2) \times \frac{730}{74} \approx 6,838$.
Commentaire : Près de 99,9% des noyaux se sont désintégrés. La source devient inoffensive.
Exercice 4: Électricité (3,5 points)
EXERCICE 4 : Électricité (3,5 points)
On se propose dans cet exercice d'étudier :
- La décharge d'un condensateur dans un dipôle RL ;
- La réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension.
1- Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL
Le circuit électrique de la figure 1 comporte un condensateur de capacité $C=0,22\,\mu\text{F}$, une bobine (b) d'inductance $L$ et de résistance $r$, un conducteur ohmique de résistance $R$ ajustable, et un interrupteur K.
Le condensateur est initialement chargé totalement sous une tension $E$. On ajuste $R$ à une valeur $R_{0}$ et on ferme K à $t=0$. La courbe de la figure 2 donne la tension $u_{C}(t)$.
1-1- Expliquer du point de vue énergétique l'amortissement observé des oscillations dans le circuit. (0,25pt)
1-2- Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_{C}(t)$. (0,5pt)
1-3- Indiquer, en justifiant, dans quel dipôle est principalement emmagasinée l'énergie totale de l'oscillateur à l'instant $t_{1}$ puis à l'instant $t_{2}$. (0,5pt)
1-4- Calculer $E_{j}=|\Delta E_{t}|$ l'énergie dissipée par effet Joule dans le circuit entre les instants $t=0$ et $t=t_{2}$. (0,75pt)
2- Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension
On réalise le circuit de la figure 3 avec le générateur de force électromotrice $E=6\text{ V}$, la bobine (b) et le conducteur ohmique réglé à la valeur $R_{1}$. On ferme l'interrupteur à l'instant $t_{0}=0$. La courbe de la figure 4 représente les variations de $\frac{di}{dt}$ en fonction de $i$.
2-1- En appliquant la loi d'additivité des tensions, montrer que : $\frac{di}{dt} = -\left(\frac{R_{1}+r}{L}\right)i + \frac{E}{L}$. (0,5pt)
2-2-1- En s'aidant du graphe de la figure 4, vérifier que la valeur de $L$ est : $L=2\text{ mH}$. (0,5pt)
2-2-2- Déterminer la valeur de la constante de temps $\tau$ du circuit. (0,5pt)
Partie 1: Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL
Circuit avec $C=0,22\text{ nF}$, bobine $(L,r)$, résistance $R=R_0$. Condensateur initialement chargé par $E$. $K$ fermé à $t=0$.
Figures 1 & 2
1-1- Expliquer de point de vue énergétique l'amortissement. (0,25 pt)
Amortissement dû à la dissipation d'énergie par effet Joule dans les résistances ($R_0$ et $r$).
1-2- Établir l'équation différentielle pour $u_C(t)$. (0,5 pt)
1-3- Indiquer où est l'énergie totale à $t_1$ puis à $t_2$. (0,5 pt)
$t_1$ ($u_C=0$) : Énergie dans la bobine.
$t_2$ ($u_C$ extrémale, $i=0$) : Énergie dans le condensateur.
1-4- Calculer $E_j$ dissipée entre $t=0$ et $t=t_2$. (0,75 pt)
$E(0) = \frac{1}{2}CE^2 = 3,96\cdot 10^{-6}\text{ J}$ (avec $E=6\text{ V}$).
$E(t_2) = \frac{1}{2}C u_C(t_2)^2 = 1,3475\cdot 10^{-6}\text{ J}$ (avec $u_C(t_2) \approx -3,5\text{ V}$).
Partie 2: Réponse d'un dipôle RL
$E=6\text{ V}$, résistance ajustée à $R_1$. $K$ fermé à $t=0$.
Figures 3 & 4
2-1- Montrer que $\frac{di}{dt} = -(\frac{R_1+r}{L})i + \frac{E}{L}$. (0,5 pt)
Loi des mailles : $L\frac{di}{dt} + (R_1+r)i = E$. Isoler $\frac{di}{dt}$.
2-2-1- Vérifier que $L=2\text{ mH}$ à partir du graphe. (0,5 pt)
Ordonnée à l'origine $b = E/L = 3000\text{ A.s}^{-1}$. Donc $L = 6/3000 = \mathbf{2\text{ mH}}$.
2-2-2- Déterminer $\tau$. (0,5 pt)
Pente $a = -20000\text{ s}^{-1} = -1/\tau$. Donc $\tau = \mathbf{50\text{ }\mu\text{s}}$.
Exercice 5: Mécanique (5 points)
EXERCICE 5 : Mécanique (5 points) - Les deux parties sont indépendantes
Partie 1: Chute verticale d'une bille dans un liquide
On lâche à $t=0$ sans vitesse initiale une bille (S) de masse $m_{B}=5,0\text{ g}$, de volume $V_{B}$ et de masse volumique $\rho_{B}=5,526\cdot10^{3}\text{ kg.m}^{-3}$ dans un liquide de masse volumique $\rho_{L}$ (figure 1).
La bille est soumise à son poids, à la poussée d'Archimède $\vec{F} = -\rho_{L}\cdot V_{B}\cdot\vec{g}$ et à une force de frottement fluide $\vec{f} = -\mu\cdot\vec{v}$.
Donnée : $g = 10\text{ m.s}^{-2}$.
1- En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que la vitesse $v_{z}(t)$ obéit à l'équation différentielle : $\frac{dv_{z}}{dt} + \frac{1}{\tau}v_{z} = g\left(1 - \frac{\rho_{L}}{\rho_{B}}\right)$ avec $\tau$ le temps caractéristique du mouvement. (0,75 pt)
2- L'évolution temporelle de la vitesse $v_{z}(t)$ est donnée par la figure 2. Déterminer graphiquement :
2-1- La vitesse limite $v_{l}$ du mouvement. (0,25 pt)
2-2- Le temps caractéristique $\tau$. (0,25 pt)
2-3- L'accélération $a_{0}$ du mouvement à $t=0$. (0,5 pt)
3- Déduire la valeur du coefficient $\mu$ et de la masse volumique $\rho_{L}$ du liquide. (1 pt)
Partie 2: Mouvement d'un système mécanique
Le système mécanique de la figure 3 est constitué d'une charge (C) de masse $m=100\text{ kg}$ glissant sans frottement sur un plan incliné d'un angle $\alpha=45^{\circ}$, reliée par un câble inextensible de masse négligeable à un cylindre de rayon $r=10\text{ cm}$ et de moment d'inertie $J_{\Delta}=2\cdot10^{-2}\text{ kg.m}^{2}$. Le cylindre tourne sous l'action d'un couple moteur de moment $M$ constant.
1- L'équation horaire d'un point du cylindre est : $\theta(t) = 20 t^{2}$ (en $\text{rad}$).
1-1- Vérifier que l'accélération du mouvement de G est : $a_{G} = 4\text{ m.s}^{-2}$. (0,5 pt)
1-2- Déterminer la distance $d$ parcourue par G pendant les deux premières secondes. (0,75 pt)
2- En appliquant la deuxième loi de Newton et la relation fondamentale de la dynamique (RFD), montrer que : $M = \frac{a_{G}}{r}(J_{\Delta} + m\cdot r^{2}) + m\cdot g\cdot r\cdot\sin\alpha$. Calculer la valeur de $M$. (1 pt)
Partie 1: Chute verticale d'une bille
Bille de masse $m_B=5,0\text{ g}$, volume $V_B$, $\rho_B=5,526 \cdot 10^3\text{ kg.m}^{-3}$ dans un liquide. Forces : Poids $\vec{P}$, Archimède $\vec{F}$, Frottement $\vec{f} = -\mu \vec{v}$. Axe $(O,\vec{k})$ vers le bas.
Figure 1
1- Montrer que $\frac{dv_z}{dt} + \frac{1}{\tau}v_z = g(1-\frac{\rho_L}{\rho_B})$. (0,75 pt)
Newton : $m_B g - \rho_L V_B g - \mu v_z = m_B \frac{dv_z}{dt}$.
Diviser par $m_B = \rho_B V_B$ et poser $\tau = \frac{m_B}{\mu}$.
Partie 2: Système mécanique
Charge (C) de $m=100\text{ kg}$ sur plan incliné $\alpha=45^\circ$. Cylindre $r=10\text{ cm}$, $J_\Delta=2 \cdot 10^{-2}\text{ kg.m}^2$. Couple moteur $\mathcal{M}$ constant. Câble inextensible.
Figure 2
2- Exploitation de la figure 2 : 2-1- $v_l$, 2-2- $\tau$, 2-3- $a_0$. (1 pt)
$v_l = \mathbf{0,70\text{ m.s}^{-1}}$. $\tau = \mathbf{0,10\text{ s}}$. $a_0 = \frac{v_l}{\tau} = \mathbf{7,0\text{ m.s}^{-2}}$.
3- Déduire $\mu$ et $\rho_L$. (1 pt)
Partie 2: Système mécanique
Charge (C) de $m=100\text{ kg}$ sur plan incliné $\alpha=45^\circ$. Cylindre $r=10\text{ cm}$, $J_\Delta=2 \cdot 10^{-2}\text{ kg.m}^2$. Couple moteur $\mathcal{M}$ constant. Câble inextensible.
Figure 3
1-1- Vérifier que $a_G = 4\text{ m.s}^{-2}$. (0,5 pt)
$\theta(t) = 20t^2 \Rightarrow \ddot{\theta} = 40\text{ rad.s}^{-2}$.
$a_G = r \ddot{\theta} = 0,10 \times 40 = \mathbf{4\text{ m.s}^{-2}}$.
1-2- Distance parcourue en 2s. (0,75 pt)
2- Montrer que $\mathcal{M} = \frac{a_G}{r}(J_\Delta + m r^2) + mgr\sin\alpha$. Calculer $\mathcal{M}$. (1 pt)
Translation : $T = m a_G + mg\sin\alpha$.
Rotation : $\mathcal{M} - Tr = J_\Delta \frac{a_G}{r}$.
Substituer $T$ pour obtenir la relation demandée.