Examen National PC 2024

On réalise une expérience dans l'air avec deux microphones M1 et M2 distants de $d = 2,85\text{ m}$ et reliés aux voies A et B d'un oscilloscope à mémoire. Entre ces deux microphones, un émetteur aligné avec M1 et M2 produit des salves sonores. L'émetteur est situé à la distance $l$ du microphone M1 (Figure 1).
Les oscillogrammes obtenus sont représentés sur la figure 2. La sensibilité horizontale de l'oscilloscope est réglée à $0,5\text{ ms}$ par division.

Suite à des désintégrations en chaîne, un nucléide peut se transformer en d'autres jusqu'à l'obtention d'un nucléide stable, formant ainsi une famille radioactive. Le diagramme du sujet présente plusieurs nucléides de cette famille.

On se propose d'étudier :

• La réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension ;
• Les oscillations libres dans un circuit RLC série.

Le montage de la figure 1 comporte un générateur idéal de tension de f.e.m. E, un condensateur de capacité C initialement déchargé, un conducteur ohmique de résistance $R = 50\ \Omega$, une bobine d'inductance $L = 20\text{ mH}$ et de résistance $r$, et un interrupteur K à double position.

1- Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension

À l'instant $t_0=0$, on place l'interrupteur K en position (1). La courbe de la figure 2 montre l'évolution de la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique. La droite (T) représente la tangente à la courbe à l'origine.

2- Oscillations libres dans un circuit RLC série

Le condensateur étant totalement chargé, on bascule K en position (2) à une nouvelle origine des dates ($t_0=0$). Les courbes des figures 3 et 4 représentent respectivement les tensions $u_c(t)$ aux bornes du condensateur et $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique.

On étudie dans cet exercice le mouvement d'une bille modélisée par un solide (S) de masse $m = 100\text{ g}$ le long d'un parcours AB rectiligne incliné d'un angle $\alpha = 20^{\circ}$ par rapport à l'horizontale, puis son mouvement en chute libre dans l'air après avoir quitté le point B (Figure 1).
Sur le trajet AB, les forces de frottement sont équivalentes à une force unique $\vec{f}$ opposée au mouvement et d'intensité constante $f$.

1- Mouvement de (S) le long du parcours AB

Le solide (S) est lancé depuis le point A à l'instant $t_0=0$. Son mouvement est étudié dans le repère lié au rail $R_1(A, \vec{i}_1, \vec{j}_1)$. La figure 2 donne l'évolution de la vitesse de son centre d'inertie G au cours du temps.

2- Mouvement de chute libre de (S)

Le solide (S) quitte le point B à une nouvelle origine des dates ($t=0$) avec la vitesse $\vec{V}_B$ faisant l'angle $\alpha$ avec la ligne horizontale, et poursuit son mouvement en chute libre. L'étude est effectuée dans le repère fixe $R(B, \vec{i}, \vec{j})$.