الصفحة 2 NS−22F الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا

Correction Exercice 1 :

1) a) La sphère $(S)$ a pour centre l'origine du repère $O(0,0,0)$ et pour rayon $R=2$. L'équation cartésienne d'une sphère est de la forme $(x-x_O)^2+(y-y_O)^2+(z-z_O)^2=R^2$. En remplaçant, on obtient : $x^2+y^2+z^2=2^2$, d'où l'équation de la sphère : $x^2+y^2+z^2-4=0$.

b) Remplaçons les coordonnées de $A(0,0,2)$ dans l'équation de $(S)$ : $0^2+0^2+2^2-4 = 4-4=0$. Les coordonnées vérifient l'équation, donc $A \in (S)$.
Remplaçons de même les coordonnées de $B(2,0,0)$ : $2^2+0^2+0^2-4 = 4-4=0$. Les coordonnées vérifient l'équation, donc $B \in (S)$.

2) a) Pour déterminer l'intersection du plan $(OAB)$ avec la sphère $(S)$, calculons la distance du centre $O$ au plan $(OAB)$. Puisque le point $O$ appartient lui-même au plan $(OAB)$, la distance $d(O, (OAB)) = 0$. Comme cette distance est strictement inférieure au rayon de la sphère ($0 < 2$), le plan $(OAB)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un grand cercle de centre $O$ et de rayon $R=2$.

b) Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$. Ses coordonnées sont données par : $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right) = I\left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = I(1,0,1)$.
On en déduit les vecteurs : $\vec{OI}(1-0, 0-0, 1-0) \implies \vec{OI}(1,0,1)$ et $\vec{AB}(2-0, 0-0, 0-2) \implies \vec{AB}(2,0,-2)$.
Calculons leur produit scalaire : $\vec{OI}.\vec{AB} = (1 \times 2) + (0 \times 0) + (1 \times -2) = 2 + 0 - 2 = 0$.
Comme $\vec{OI}.\vec{AB} = 0$, les droites $(OI)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. Le point $I$ appartenant à la droite $(AB)$, il est la projection orthogonale de l'origine $O$ sur la droite $(AB)$. Par conséquent, la distance de $O$ à la droite $(AB)$ est égale à la distance $OI$ :
$d(O,(AB)) = OI = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

3) a) On considère le point $M(0,m,0)$. On a les vecteurs $\vec{AB}(2,0,-2)$ et $\vec{AM}(0-0, m-0, 0-2) \implies \vec{AM}(0,m,-2)$. Le produit vectoriel s'exprime par le déterminant suivant :
$\vec{AB} \wedge \vec{AM} = \begin{vmatrix} 0 & m \\ -2 & -2 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & -2 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & m \end{vmatrix}\vec{k}$
$\vec{AB} \wedge \vec{AM} = [0 \times (-2) - m \times (-2)]\vec{i} - [2 \times (-2) - 0 \times (-2)]\vec{j} + [2 \times m - 0 \times 0]\vec{k}$
$\vec{AB} \wedge \vec{AM} = 2m\vec{i} - (-4)\vec{j} + 2m\vec{k} = 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k}$. Le résultat est ainsi vérifié.

b) Le produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AM}$ est un vecteur normal au plan $(ABM)$. On peut donc choisir comme vecteur normal $\vec{n}(2m, 4, 2m)$. L'équation cartésienne du plan s'écrit alors sous la forme : $2mx + 4y + 2mz + d = 0$.
Le point $A(0,0,2)$ appartient au plan $(ABM)$, ses coordonnées vérifient donc l'équation : $2m(0) + 4(0) + 2m(2) + d = 0 \implies 4m + d = 0 \implies d = -4m$.
L'équation du plan s'écrit ainsi : $2mx + 4y + 2mz - 4m = 0$. En simplifiant tous les termes en divisant par 2, on obtient l'équation réduite demandée : $mx + 2y + mz - 2m = 0$.

c) En appliquant la formule de la distance d'un point à un plan pour le point $O(0,0,0)$ et le plan $(ABM)$, on a :
$d(O,(ABM)) = \frac{|m(0) + 2(0) + m(0) - 2m|}{\sqrt{m^2 + 2^2 + m^2}} = \frac{|-2m|}{\sqrt{2m^2+4}} = \frac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}}$.

4) Le rayon $r$ du cercle d'intersection $(\Gamma_m)$ d'une sphère de rayon $R$ avec un plan situé à une distance $d$ du centre est donné par le théorème de Pythagore : $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. Ici $R = 2$ et $d = d(O,(ABM))$.
$r = \sqrt{2^2 - \left(\frac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{4m^2}{4+2m^2}} = \sqrt{\frac{4(4+2m^2) - 4m^2}{4+2m^2}} = \sqrt{\frac{16+8m^2-4m^2}{4+2m^2}} = \sqrt{\frac{16+4m^2}{4+2m^2}}$.
En factorisant le numérateur et le dénominateur par 2 pour simplifier : $r = \sqrt{\frac{2(8+2m^2)}{2(2+m^2)}} = \sqrt{\frac{8+2m^2}{2+m^2}} = \sqrt{\frac{4 + 4 + 2m^2}{2+m^2}} = \sqrt{\frac{4 + 2(2+m^2)}{2+m^2}} = \sqrt{\frac{4}{2+m^2} + 2} = \sqrt{2+\frac{4}{2+m^2}}$.

Encadrons maintenant $r$ pour tout $m \in \mathbb{R}$ :
On sait que pour tout réel $m$, $m^2 \ge 0$. Donc $2+m^2 \ge 2$.
Par passage à l'inverse (la fonction inverse étant strictement décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}$), on obtient : $0 < \frac{1}{2+m^2} \le \frac{1}{2}$.
En multipliant par 4 : $0 < \frac{4}{2+m^2} \le 2$.
En ajoutant 2 à chaque membre : $2 < 2 + \frac{4}{2+m^2} \le 4$.
En appliquant la fonction racine carrée qui est strictement croissante, on conclut que : $\sqrt{2} < r \le \sqrt{4}$, c'est-à-dire $\sqrt{2} < r \le 2$.

Correction Exercice 2 :

1) a) On calcule directement la somme des deux nombres complexes : $a+b = (1+2i) + (1-2i) = 1 + 1 + 2i - 2i = 2$. L'affixe $p$ du milieu $P$ du segment $[AB]$ est donnée par la moyenne des affixes de ses extrémités : $p = \frac{a+b}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

b) Résolvons l'équation du second degré $z^2-2z+5=0$. Le discriminant de l'équation est : $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$.
Comme $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \frac{-(-2) + i\sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i = a$.
$z_2 = \overline{z_1} = 1 - 2i = b$. Les points $a$ et $b$ sont donc bien les solutions de cette équation.

2) a) Calculons séparément chacun des trois modules :
• $\omega-a = \frac{5}{2} - (1+2i) = \frac{5}{2} - 1 - 2i = \frac{3}{2} - 2i$. D'où : $|\omega-a| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
• $\omega-b = \frac{5}{2} - (1-2i) = \frac{5}{2} - 1 + 2i = \frac{3}{2} + 2i$. D'où : $|\omega-b| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
• $\omega-c = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}(3+i) = \frac{5}{2} - \frac{9}{2} - \frac{3}{2}i = -\frac{4}{2} - \frac{3}{2}i = -2 - \frac{3}{2}i$. D'où : $|\omega-c| = \sqrt{(-2)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
On a bien établi l'égalité : $|\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c| = \frac{5}{2}$.

b) En termes géométriques, l'égalité des modules se traduit par les distances : $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \frac{5}{2}$. Le point $\Omega$ d'affixe $\omega$ est équidistant des trois sommets du triangle $ABC$. Il est donc le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

3) a) Calculons les expressions du numérateur et du dénominateur :
$d-c = \frac{3}{2}(1+i) - \frac{3}{2}(3+i) = \frac{3}{2}(1 + i - 3 - i) = \frac{3}{2}(-2) = -3$.
$a-b = (1+2i) - (1-2i) = 1 + 2i - 1 + 2i = 4i$.
On forme le rapport : $\frac{d-c}{a-b} = \frac{-3}{4i} = \frac{-3 \times (-i)}{4i \times (-i)} = \frac{3i}{-4i^2} = \frac{3i}{4} = \frac{3}{4}i$.

b) Effectuons le calcul des deux expressions complexes :
• D'une part, $d-b = \frac{3}{2}(1+i) - (1-2i) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i - 1 + 2i = \left(\frac{3}{2}-1\right) + \left(\frac{3}{2}+2\right)i = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i$.
• D'autre part, calculons $(c-a)e^{i\frac{\pi}{2}}$. On sait que $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$.
$c-a = \frac{3}{2}(3+i) - (1+2i) = \frac{9}{2} + \frac{3}{2}i - 1 - 2i = \left(\frac{9}{2}-1\right) + \left(\frac{3}{2}-2\right)i = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}i$.
Multiplions ce résultat par $i$ : $(c-a)i = \left(\frac{7}{2} - \frac{1}{2}i\right)i = \frac{7}{2}i - \frac{1}{2}i^2 = \frac{7}{2}i + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i$.
On constate l'égalité parfaite des deux membres, donc $d-b=(c-a)e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Pour en déduire la relation géométrique entre les droites, réécrivons l'égalité sous forme de rapport : $\frac{d-b}{c-a} = e^{i\frac{\pi}{2}}$. En passant aux arguments :
$\text{arg}\left(\frac{d-b}{c-a}\right) \equiv \text{arg}\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right) \pmod{2\pi} \implies (\vec{AC}, \vec{BD}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
L'angle orienté entre les vecteurs directeurs des deux droites étant égal à $\frac{\pi}{2}$, les droites $(DB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

4) a) L'expression complexe d'une homothétie de centre $C(c)$ et de rapport $k$ est donnée par la formule : $z' - c = k(z - c) \implies z' = k(z - c) + c = kz + (1-k)c$.
Ici, $k = \frac{2}{3}$ et $c = \frac{3}{2}(3+i) = \frac{9}{2} + \frac{3}{2}i$. Remplaçons ces valeurs :
$z' = \frac{2}{3}z + \left(1 - \frac{2}{3}\right)\left(\frac{9}{2} + \frac{3}{2}i\right) = \frac{2}{3}z + \frac{1}{3}\left(\frac{9}{2} + \frac{3}{2}i\right) = \frac{2}{3}z + \frac{9}{6} + \frac{3}{6}i = \frac{2}{3}z + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$.

b) Le point $G$ est l'image du point $P$ par l'homothétie $h$, donc son affixe $g$ s'obtient en remplaçant $z$ par $p=1$ dans la relation précédente :
$g = \frac{2}{3}(1) + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i = \left(\frac{4}{6} + \frac{9}{6}\right) + \frac{1}{2}i = \frac{13}{6} + \frac{1}{2}i$.

c) Pour vérifier l'alignement des points $\Omega$, $G$ et $D$, calculons le rapport complexe $\frac{d-\omega}{g-\omega}$ et montrons qu'il s'agit d'un nombre réel :
• $d-\omega = \left(\frac{3}{2} + \frac{3}{2}i\right) - \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} + \frac{3}{2}i = -1 + \frac{3}{2}i = \frac{-2+3i}{2}$.
• $g-\omega = \left(\frac{13}{6} + \frac{1}{2}i\right) - \frac{5}{2} = \frac{13}{6} - \frac{15}{6} + \frac{1}{2}i = -\frac{2}{6} + \frac{1}{2}i = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}i = \frac{-2+3i}{6}$.
Formons maintenant le rapport : $\frac{d-\omega}{g-\omega} = \frac{\frac{-2+3i}{2}}{\frac{-2+3i}{6}} = \frac{-2+3i}{2} \times \frac{6}{-2+3i} = \frac{6}{2} = 3$.
Puisque $\frac{d-\omega}{g-\omega} = 3 \in \mathbb{R}$, les vecteurs $\vec{\Omega D}$ et $\vec{\Omega G}$ sont colinéaires ($\vec{\Omega D} = 3\vec{\Omega G}$). Les points $\omega$, $G$ et $D$ sont donc alignés.

Correction Exercice 3 :

Le tirage se fait simultanément, on utilise donc les combinaisons. Le nombre total de boules dans l'urne est égal à $4 \text{ (blanches)} + 2 \text{ (noires)} = 6$. Le nombre total de façons possibles de choisir 2 boules parmi 6 est :
$\text{Card}(\Omega) = C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

a) Comptons le nombre de boules portant le numéro 1 dans l'urne. Il y a 3 boules blanches portant le numéro 1 et 1 boule noire portant le numéro 1, soit un total de $3+1=4$ boules portant le numéro 1. L'événement $A$ consiste à tirer 2 boules parmi ces 4 :
$\text{Card}(A) = C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
La probabilité de l'événement $A$ est donc : $p(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.

b) L'événement $B$ signifie que l'on tire soit 2 boules blanches parmi les 4 blanches disponibles, soit 2 boules noires parmi les 2 noires disponibles :
$\text{Card}(B) = C_4^2 + C_2^2 = 6 + 1 = 7$.
La probabilité de l'événement $B$ est donc : $p(B) = \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{7}{15}$.

c) Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
Déterminons l'événement $A \cap B$ : « Les deux boules tirées portent le numéro 1 ET sont de même couleur ».
• Cas 1 : Deux boules blanches portant le numéro 1. Il y a 3 boules blanches de numéro 1, d'où $C_3^2 = 3$ possibilités.
• Cas 2 : Deux boules noires portant le numéro 1. Impossible car l'urne ne contient qu'une seule boule noire portant le numéro 1 ($C_1^2 = 0$).
On a donc $\text{Card}(A \cap B) = 3 + 0 = 3$. D'où : $p(A \cap B) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
Calculons maintenant le produit des deux probabilités individuelles : $p(A) \times p(B) = \frac{2}{5} \times \frac{7}{15} = \frac{14}{75}$.
Comparons les deux fractions : on sait que $\frac{1}{5} = \frac{15}{75}$. On constate clairement que $\frac{15}{75} \neq \frac{14}{75}$, d'où $p(A \cap B) \neq p(A) \times p(B)$. Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.

Loi de probabilités de X : L'expérience consistant à tirer deux boules et à observer si l'événement $A$ se produit est répétée 3 fois de manière identique et indépendante (épreuves répétées). C'est un schéma de Bernoulli. La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 3$ (nombre de répétitions) et $p = p(A) = \frac{2}{5}$ (probabilité de succès). La formule générale de la loi binomiale est : $p(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$. Ici, $1-p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
• Pour $k=0$ : $p(X=0) = C_3^0 \left(\frac{2}{5}\right)^0 \left(\frac{3}{5}\right)^3 = 1 \times 1 \times \frac{27}{125} = \frac{27}{125}$ (déjà fourni).
• Pour $k=1$ : $p(X=1) = C_3^1 \left(\frac{2}{5}\right)^1 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 3 \times \frac{2}{5} \times \frac{9}{25} = \frac{54}{125}$.
• Pour $k=2$ : $p(X=2) = C_3^2 \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{3}{5}\right)^1 = 3 \times \frac{4}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{36}{125}$.
• Pour $k=3$ : $p(X=3) = C_3^3 \left(\frac{2}{5}\right)^3 \left(\frac{3}{5}\right)^0 = 1 \times \frac{8}{125} \times 1 = \frac{8}{125}$.
Vérification de la cohérence de la loi de probabilité : $\frac{27 + 54 + 36 + 8}{125} = \frac{125}{125} = 1$. Le tableau est ainsi complété.

b) Espérance mathématique : Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale, la formule de l'espérance est simplifiée et s'exprime par $E(X) = n \times p$. En remplaçant par nos paramètres, on obtient : $E(X) = 3 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$ (ou $1.2$).
Calcul par la formule générale pour validation détaillée :
$E(X) = \sum (x_i \times p_i) = \left(0 \times \frac{27}{125}\right) + \left(1 \times \frac{54}{125}\right) + \left(2 \times \frac{36}{125}\right) + \left(3 \times \frac{8}{125}\right) = \frac{0 + 54 + 72 + 24}{125} = \frac{150}{125} = \frac{6}{5}$.

Correction du Problème :

Partie I :

1) a) Sur le graphique fourni, on observe que sur l'ensemble de l'intervalle $]0,+\infty[$, la courbe $(C_1)$ représentative de la fonction $g$ se situe strictement au-dessus de la courbe $(C_2)$ de la fonction $h$. Par conséquent, pour tout $x \in ]0,+\infty[$, on a l'inégalité stricte $g(x) > h(x)$, ce qui équivaut à $g(x) - h(x) > 0$.

b) D'après la question précédente, on a $x^2 - (2\ln x - (\ln x)^2) > 0$. Puisque $x \in ]0,+\infty[$, on a $x^2 > 0$. En divisant chaque membre de l'inégalité par $x^2$, le sens de l'inégalité ne change pas :
$\frac{x^2 - (2\ln x - (\ln x)^2)}{x^2} > 0 \implies \frac{x^2}{x^2} - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} > 0 \implies 1 - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} > 0$.
En transposant le terme négatif de l'autre côté de l'inégalité, on obtient la relation cherchée : $\frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} < 1$.

2) a) Pour vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $\ln$ sur $]0,+\infty[$, montrons que $H$ est dérivable et que sa dérivée est égale à $\ln x$. La fonction $H(x) = x\ln x - x$ est le produit et la différence de fonctions usuelles dérivables sur $]0,+\infty[$. En utilisant la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$, on calcule :
$H'(x) = (x)' \times \ln x + x \times (\ln x)' - (x)' = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.
La fonction $H$ est donc bien une primitive de $x \mapsto \ln x$.

Calculons maintenant l'intégrale : $\int_1^{e^2}\ln(x)dx = [H(x)]_1^{e^2} = [x\ln x - x]_1^{e^2}$.
$= (e^2\ln(e^2) - e^2) - (1\ln(1) - 1)$. On sait que $\ln(e^2) = 2$ et $\ln(1) = 0$.
$= (e^2 \times 2 - e^2) - (0 - 1) = (2e^2 - e^2) + 1 = e^2 + 1 = 1+e^2$. Le résultat est ainsi rigoureusement démontré.

b) Pour calculer $\int_1^{e^2}(\ln x)^2dx$, effectuons une intégration par parties en posant :
$\begin{cases} u(x) = (\ln x)^2 \\ v'(x) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} u'(x) = 2 \times \ln x \times \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x} \\ v(x) = x \end{cases}$
Les fonctions $u$, $v$, $u'$ et $v'$ étant continues sur l'intervalle $[1, e^2]$, la formule de l'intégration par parties s'applique :
$\int_1^{e^2}(\ln x)^2dx = [x(\ln x)^2]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} x \times \frac{2\ln x}{x} dx = [x(\ln x)^2]_1^{e^2} - 2\int_1^{e^2}\ln x dx$.
• Calcul du terme entre crochets : $[x(\ln x)^2]_1^{e^2} = (e^2(\ln(e^2))^2) - (1(\ln(1))^2) = e^2(2)^2 - 1(0)^2 = 4e^2$.
• Utilisation de la question 2-a : on sait déjà que $\int_1^{e^2}\ln x dx = e^2 + 1$.
En combinant ces deux résultats, on obtient :
$\int_1^{e^2}(\ln x)^2dx = 4e^2 - 2(e^2 + 1) = 4e^2 - 2e^2 - 2 = 2e^2 - 2$.

c) Résolvons sur $]0,+\infty[$ l'équation $h(x)=0$ :
$2\ln x - (\ln x)^2 = 0 \implies \ln x(2 - \ln x) = 0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :
• Soit $\ln x = 0 \implies x = e^0 = 1$.
• Soit $2 - \ln x = 0 \implies \ln x = 2 \implies x = e^2$.
Les solutions de l'équation sont $1$ et $e^2$, qui appartiennent bien à l'intervalle d'étude. Les points d'intersection de la courbe $(C_2)$ avec l'axe des abscisses sont donc les points de coordonnées : $M_1(1, 0)$ et $M_2(e^2, 0)$.

d) L'aire de la région du plan délimitée par la courbe d'une fonction continue, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=1$ et $x=e^2$ est donnée par la formule : $\mathcal{A} = \int_1^{e^2} |h(x)| dx$.
Étudions le signe de $h(x) = \ln x(2-\ln x)$ sur l'intervalle $[1, e^2]$ :
Si $1 \le x \le e^2$, alors $\ln(1) \le \ln x \le \ln(e^2)$, soit $0 \le \ln x \le 2$. Ainsi, $\ln x \ge 0$ et $2-\ln x \ge 0$, donc leur produit $h(x)$ est positif ou nul sur cet intervalle. On peut donc enlever la valeur absolue :
$\mathcal{A} = \int_1^{e^2} h(x) dx = \int_1^{e^2} (2\ln x - (\ln x)^2) dx = 2\int_1^{e^2}\ln x dx - \int_1^{e^2}(\ln x)^2 dx$.
En injectant les résultats numériques précis des questions 2-a et 2-b, on effectue le calcul final :
$\mathcal{A} = 2(e^2 + 1) - (2e^2 - 2) = 2e^2 + 2 - 2e^2 + 2 = 4 \text{ U.A.}$ (Unités d'Aire).

Partie II :

1) a) Calculons la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0^+$ :
On sait que $\lim_{x \to 0^+} x = 0$, $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \implies \lim_{x \to 0^+} (\ln x)^2 = +\infty$.
Pour le quotient $\frac{(\ln x)^2}{x}$, le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur tend vers $0$ en restant positif ($0^+$), par conséquent : $\lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)^2}{x} = +\infty$.
Ainsi, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x - \frac{(\ln x)^2}{x}\right) = 0 - (+\infty) = -\infty$.
Interprétation géométrique : Puisque la limite de la fonction en $0^+$ est infinie, la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe représentative $(C_f)$.

b) Pour lever l'indétermination de la limite de $\frac{(\ln x)^2}{x}$ en $+\infty$, effectuons le changement de variable suggéré en posant $t = \sqrt{x}$. Lorsque $x \to +\infty$, on a également $t \to +\infty$, et de plus $x = t^2$.
L'expression devient : $\frac{(\ln x)^2}{x} = \frac{(\ln(t^2))^2}{t^2} = \frac{(2\ln t)^2}{t^2} = \frac{4(\ln t)^2}{t^2} = 4 \left(\frac{\ln t}{t}\right)^2$.
Par les croissances comparées de référence, on sait que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0$. Par composition et produit, on en déduit que : $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 4 \times (0)^2 = 0$.

Calculons maintenant la limite globale de la fonction $f$ en $+\infty$ :
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - \frac{(\ln x)^2}{x}\right)$. Comme $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0$, on obtient par somme de limites : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

c) Pour montrer que la droite d'équation $y = x$ est une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$, calculons la limite de la différence $f(x) - x$ :
$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - \frac{(\ln x)^2}{x} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} -\frac{(\ln x)^2}{x}$.
D'après le résultat obtenu à la question précédente (1-b), cette limite est égale à $0$. Comme $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 0$, la droite d'équation $y = x$ (la première bissectrice) est bien une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

2) a) La fonction $f$ est une somme et un quotient de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$, elle est donc dérivable sur cet intervalle. Dérivons chaque terme séparément. La dérivée de $x$ est $1$. Pour le terme $\frac{(\ln x)^2}{x}$, appliquons la règle de dérivation d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = (\ln x)^2$ (dont la dérivée est $u'(x) = 2\ln x \times \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$) et $v(x) = x$ (dont la dérivée est $v'(x) = 1$) :
$\left(\frac{(\ln x)^2}{x}\right)' = \frac{\left(\frac{2\ln x}{x} \times x\right) - ((\ln x)^2 \times 1)}{x^2} = \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2}$.
En combinant les termes, on obtient précisément l'expression de la fonction dérivée demandée :
$f'(x) = (x)' - \left(\frac{(\ln x)^2}{x}\right)' = 1 - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2}$.

b) Pour déterminer les variations de $f$, étudions le signe de sa dérivée $f'(x) = 1 - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2}$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
À la question 1-b de la Partie I, nous avons démontré de manière analytique et graphique la relation rigoureuse suivante pour tout $x > 0$ : $\frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} < 1$.
En multipliant cette inégalité par $-1$, on change son sens : $-\frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} > -1$.
En ajoutant 1 de chaque côté, on obtient : $1 - \frac{2\ln x - (\ln x)^2}{x^2} > 1 - 1 \implies f'(x) > 0$.
La dérivée de la fonction $f$ étant strictement positive sur tout l'intervalle $]0,+\infty[$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.

3) a) La fonction $f$ est dérivable, donc continue sur l'intervalle $]0,+\infty[$. De plus, d'après la question précédente, elle est strictement croissante sur cet intervalle. D'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones), la fonction $f$ réalise une bijection de son intervalle de départ $I = ]0,+\infty[$ sur son intervalle d'arrivée $J = f(]0,+\infty[) = ]\lim_{x \to 0^+} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)[$.
En reprenant les limites calculées en 1-a et 1-b, on a : $J = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$.
Puisque la valeur $0$ appartient à l'intervalle d'arrivée $\mathbb{R}$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]0,+\infty[$.

b) Pour vérifier l'encadrement $e^{-1} < \alpha < 1$, calculons les images des bornes par la fonction $f$ :
• Pour $x = 1$ : $f(1) = 1 - \frac{(\ln 1)^2}{1} = 1 - 0 = 1$. On remarque que $f(1) > 0$.
• Pour $x = e^{-1}$ : $f(e^{-1}) = e^{-1} - \frac{(\ln(e^{-1}))^2}{e^{-1}} = e^{-1} - \frac{(-1)^2}{e^{-1}} = e^{-1} - \frac{1}{e^{-1}} = e^{-1} - e$.
On sait que $e \approx 2.718$ et $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0.368$, donc $e^{-1} - e < 0$, ce qui signifie que $f(e^{-1}) < 0$.
On a donc l'enchaînement d'inégalités : $f(e^{-1}) < 0 < f(1) \implies f(e^{-1}) < f(\alpha) < f(1)$. La fonction $f$ étant strictement croissante sur $]0,+\infty[$, l'application de sa réciproque conserve l'ordre des variables, ce qui donne immédiatement : $e^{-1} < \alpha < 1$.

Montrons maintenant la relation algébrique $\ln\alpha = -\alpha$ :
Par définition, $\alpha$ est solution de l'équation $f(x)=0$, donc $f(\alpha) = 0 \implies \alpha - \frac{(\ln \alpha)^2}{\alpha} = 0 \implies \alpha = \frac{(\ln \alpha)^2}{\alpha}$.
En multipliant par $\alpha > 0$, on obtient l'égalité des carrés : $\alpha^2 = (\ln \alpha)^2$.
Cette égalité de carrés implique deux cas possibles pour les racines : soit $\ln \alpha = \alpha$, soit $\ln \alpha = -\alpha$.
Or, nous venons de prouver que $\alpha < 1$. La fonction logarithme népérien étant strictement négative pour tout argument strictement inférieur à 1, on a nécessairement $\ln \alpha < 0$. Comme $\alpha > 0$, le terme $-\alpha$ est négatif, tandis que le terme $\alpha$ est positif. Par conséquent, l'égalité avec le terme positif est exclue ($\ln\alpha \neq \alpha$), et on conclut de manière unique que : $\ln \alpha = -\alpha$.

c) Étudions la différence $f(x) - x$ pour tout réel $x \in ]0,+\infty[$ :
$f(x) - x = \left(x - \frac{(\ln x)^2}{x}\right) - x = -\frac{(\ln x)^2}{x}$.
Pour tout $x > 0$, on sait qu'un carré est toujours positif ou nul : $(\ln x)^2 \ge 0$, et de plus le dénominateur est strictement positif : $x > 0$. Le quotient $\frac{(\ln x)^2}{x}$ est donc positif ou nul, et son opposé est par conséquent négatif ou nul : $-\frac{(\ln x)^2}{x} \le 0$.
Comme $f(x) - x \le 0$, on en déduit que pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $f(x) \le x$.

d) L'équation de la tangente $(T)$ à la courbe d'une fonction en un point d'abscisse $x_0$ est donnée par la formule de cours : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Ici, $x_0 = 1$.
• Calculons la valeur de l'image : $f(1) = 1 - \frac{(\ln 1)^2}{1} = 1 - 0 = 1$.
• Calculons la valeur de la dérivée : $f'(1) = 1 - \frac{2\ln 1 - (\ln 1)^2}{1^2} = 1 - \frac{0 - 0}{1} = 1 - 0 = 1$.
Remplaçons ces valeurs numériques dans la formule : $y = 1 \times (x - 1) + 1 = x - 1 + 1 = x$.
L'équation cartésienne de la tangente $(T)$ au point d'abscisse 1 est donc bien la droite d'équation $y = x$.

4) a) La fonction $\varphi$ est la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $I = ]0,1]$. La fonction $f$ étant continue et strictement croissante sur l'ensemble de son domaine $]0,+\infty[$, sa restriction $\varphi$ est également continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0,1]$.
Par le théorème de la bijection, la fonction $\varphi$ admet une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ définie sur l'intervalle image $J = \varphi(]0,1]) = ]\lim_{x \to 0^+} \varphi(x), \varphi(1)]$.
D'après les calculs précédents, $\lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = -\infty$ et $\varphi(1) = 1$. L'intervalle de définition de la fonction réciproque est donc : $J = ]-\infty, 1]$.

b) Pour montrer que la fonction réciproque $\varphi^{-1}$ est dérivable en un point $y_0 = 0$, il faut vérifier deux conditions d'après le théorème de dérivation des fonctions réciproques :
1. Trouver le point $x_0$ tel que $\varphi(x_0) = 0$. Par définition, ce point est la racine $\alpha$ étudiée à la question 3-a. On a bien $\alpha \in ]0,1]$ car nous avons prouvé que $e^{-1} < \alpha < 1$.
2. Vérifier que la dérivée de la fonction d'origine au point $\alpha$ n'est pas nulle : $\varphi'(\alpha) \neq 0$.
Calculons la valeur de la dérivée au point $\alpha$ en utilisant la formule trouvée en 2-a : $\varphi'(\alpha) = 1 - \frac{2\ln \alpha - (\ln \alpha)^2}{\alpha^2}$.
Utilisons la relation fondamentale démontrée en 3-b : $\ln \alpha = -\alpha$. Remplaçons $\ln\alpha$ par $-\alpha$ dans l'expression :
$\varphi'(\alpha) = 1 - \frac{2(-\alpha) - (-\alpha)^2}{\alpha^2} = 1 - \frac{-2\alpha - \alpha^2}{\alpha^2} = 1 - \left(\frac{-2\alpha}{\alpha^2} - \frac{\alpha^2}{\alpha^2}\right) = 1 - \left(-\frac{2}{\alpha} - 1\right) = 1 + \frac{2}{\alpha} + 1 = 2 + \frac{2}{\alpha}$.
Puisque $\alpha > 0$, le terme $2 + \frac{2}{\alpha}$ est strictement supérieur à 2, donc il est différent de 0. La fonction réciproque $\varphi^{-1}$ est donc bien dérivable en $0$.

Appliquons maintenant la formule de dérivation de la fonction réciproque : $(\varphi^{-1})'(0) = \frac{1}{\varphi'(\alpha)}$.
En remplaçant par l'expression simplifiée de $\varphi'(\alpha)$ :
$(\varphi^{-1})'(0) = \frac{1}{2 + \frac{2}{\alpha}} = \frac{1}{\frac{2\alpha + 2}{\alpha}} = \frac{\alpha}{2\alpha + 2} = \frac{\alpha}{2+2\alpha}$. Le résultat est parfaitement établi.

c) Pour construire la courbe représentative de la fonction réciproque $\varphi^{-1}$ dans le même repère, on utilise la propriété géométrique fondamentale suivante : la courbe de la fonction réciproque $(C_{\varphi^{-1}})$ est la symétrique de la courbe de la fonction d'origine $(C_{\varphi})$ par rapport à la droite d'équation $y = x$ (la première bissectrice, qui est également la tangente $(T)$ commune au point 1).
• Le point d'intersection de $(C_{\varphi})$ avec l'axe des abscisses $(\alpha, 0)$ devient le point $(0, \alpha)$ sur l'axe des ordonnées pour la courbe $(C_{\varphi^{-1}})$. La tangente y est verticale car la dérivée tend vers l'infini aux bornes correspondantes.
• Le point invariant $(1,1)$ est commun aux deux courbes, et elles y partagent la même tangente $y=x$.
• L'asymptote verticale d'équation $x=0$ (quand $y \to -\infty$) pour la courbe $(C_{\varphi})$ se transforme par symétrie axiale en une asymptote horizontale d'équation $y=0$ (quand $x \to -\infty$) pour la courbe de la fonction réciproque $(C_{\varphi^{-1}})$.

Partie III :

1) Raisonnons par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, la proposition $\mathcal{P}(n) : « u_n > 1 »$ est vraie :
• Initialisation : Pour $n = 0$, le premier terme de la suite est défini par $u_0 = e$. On sait que la constante d'Euler vaut environ $2.718$, ce qui est strictement supérieur à 1. La proposition est donc initialisée au rang $0$ ($\mathcal{P}(0)$ est vraie).
• Hérédité : Supposons que la propriété est vraie au rang $n$, c'est-à-dire que $u_n > 1$ (Hypothèse de récurrence). Montrons qu'elle reste vraie au rang suivant $n+1$, c'est-à-dire que $u_{n+1} > 1$.
Par hypothèse de récurrence, on a $u_n > 1$. La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0,+\infty[$, et en particulier sur l'intervalle $]1,+\infty[$. L'application d'une fonction strictement croissante préserve le sens de l'inégalité :
$u_n > 1 \implies f(u_n) > f(1)$.
Par définition de la suite, on a $u_{n+1} = f(u_n)$. De plus, nous avons calculé précédemment que $f(1) = 1$. L'inégalité devient donc : $u_{n+1} > 1$. La propriété est donc héréditaire.
• Conclusion : La propriété est vérifiée à l'initialisation et est héréditaire, elle est donc vraie par récurrence pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$ : $u_n > 1$.

2) a) Pour déterminer le sens de variation de la suite, étudions le signe de la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$.
Par définition, $u_{n+1} = f(u_n)$. La différence s'écrit donc : $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$.
À la question 3-c de la Partie II, nous avons démontré de manière générale que pour tout nombre réel $x \in ]0,+\infty[$, on a l'inégalité $f(x) \le x$, ce qui équivaut à $f(x) - x \le 0$.
Puisque d'après la question précédente, pour tout entier $n$, le terme $u_n$ appartient à cet intervalle ($u_n > 1 > 0$), on peut appliquer cette propriété en remplaçant $x$ par $u_n$ :
$f(u_n) - u_n \le 0 \implies u_{n+1} - u_n \le 0$.
Le terme suivant étant inférieur ou égal au terme précédent pour tout entier $n$, la suite $(u_n)$ est décroissante.

b) Nous venons de démontrer deux propriétés fondamentales de la suite $(u_n)$ : d'une part, elle est strictement minorée par 1 (car pour tout $n$, $u_n > 1$), et d'autre part, elle est décroissante.
D'après le théorème de la convergence monotone, toute suite numérique décroissante et minorée est convergente. On en déduit de manière certaine que la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle finie que nous noterons $L$.

c) Déterminons la valeur de la limite $L$ de la suite. La suite est définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. On vérifie les conditions d'application du théorème du point fixe :
1. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]0,+\infty[$, et en particulier en la limite $L$ (puisque $u_n > 1$ pour tout $n$, la limite vérifie également $L \ge 1$, donc $L \neq 0$).
2. Pour tout entier $n$, $u_n$ appartient à l'intervalle $I = [1, e]$ et l'image de cet intervalle par la fonction croissante est $f([1,e]) = [f(1), f(e)] = [1, e - \frac{1}{e}] \subset [1,e]$. L'intervalle est stable.
En passant à la limite dans la relation de récurrence, la limite $L$ est obligatoirement solution de l'équation du point fixe : $f(L) = L$.
Résolvons cette équation sur $[1,+\infty[$ :
$f(L) = L \implies L - \frac{(\ln L)^2}{L} = L \implies -\frac{(\ln L)^2}{L} = 0 \implies (\ln L)^2 = 0 \implies \ln L = 0 \implies L = e^0 = 1$.
La suite $(u_n)$ converge donc vers sa limite unique : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.