Examen National du Baccalauréat

Correction de l'Exercice 1 :

1) a) Soit $n \in \mathbb{N}$ :

Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$.

b) Montrons par récurrence que $0 < u_n < 2$ :
• Pour $n=0$, $u_0 = \frac{3}{2}$, on a bien $0 < \frac{3}{2} < 2$ (Vrai).
• Supposons que $0 < u_n < 2$ pour un entier $n$ fixé, et montrons que $0 < u_{n+1} < 2$.
On a : $0 < u_n < 2 \implies 2 < 2 + u_n < 4 \implies \frac{1}{4} < \frac{1}{2 + u_n} < \frac{1}{2}$
$\implies -2 < -\frac{4}{2 + u_n} < -1 \implies 3 - 2 < 3 - \frac{4}{2 + u_n} < 3 - 1$
$\implies 1 < u_{n+1} < 2$. Comme $0 < 1$, on en déduit que $0 < u_{n+1} < 2$.
D'après le principe de récurrence : $\forall n \in \mathbb{N},\; 0 < u_n < 2$.

2) a) Soit $n \in \mathbb{N}$ :

Factorisons le numérateur $-u_n^2 + u_n + 2$ : ses racines sont $-1$ et $2$, donc il s'écrit $(1 + u_n)(2 - u_n)$.
D'où : $u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$.

b) Puisque $0 < u_n < 2$, on a : $1 + u_n > 0$, $2 - u_n > 0$ et $2 + u_n > 0$.
Par conséquent, $u_{n+1} - u_n > 0$, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Comme elle est croissante et majorée par 2, elle est convergente.

c) On a $0 < u_n < 2$, d'où $2 - u_{n+1} > 0$. De plus :

Puisque $(u_n)$ est croissante et $u_0 = \frac{3}{2}$, on a $u_n \ge \frac{3}{2} \implies 2u_n \ge 3 \implies 3 - 2u_n \le 0$.
Comme $2 - u_n > 0$ et $7(2 + u_n) > 0$, le produit est négatif ou nul.
Ainsi : $0 < 2 - u_{n+1} \le \frac{2}{7}(2 - u_n)$.

d) En écrivant cette inégalité pour les premiers termes :
$0 < 2 - u_1 \le \frac{2}{7}(2 - u_0)$
$0 < 2 - u_2 \le \frac{2}{7}(2 - u_1)$
$\dots$
$0 < 2 - u_n \le \frac{2}{7}(2 - u_{n-1})$
En multipliant membre à membre et après simplification, on obtient :

Comme $u_0 = \frac{3}{2}$, on a $2 - u_0 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.
D'où : $0 < 2 - u_n \le \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}\right)^n$.

e) Comme $-1 < \frac{2}{7} < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{7}\right)^n = 0$, donc par le théorème des gendarmes :

Correction de l'Exercice 2 :

1) a) On a les coordonnées des vecteurs : $\vec{AB}(1, -1, -2)$ et $\vec{AC}(2, 0, -2)$.
Le produit vectoriel est :

Puisque $\vec{AB} \wedge \vec{AC} \neq \vec{0}$, les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b) $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 2\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$, donc $\vec{n}$ est aussi un vecteur normal à $(ABC)$.
De l'équation de $(P) : x - y + z - 6 = 0$, on lit que $\vec{n}(1, -1, 1)$ est un vecteur normal à $(P)$.
Ayant le même vecteur normal, les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont parallèles.

2) a) Calculons la distance de $A(0,3,3)$ au plan $(P)$ :

Puisque les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont parallèles et tangents à la sphère $(S)$ respectivement en $A$ et $H$, le segment $[AH]$ est un diamètre de la sphère. Ainsi, le rayon $R$ vaut :

b) La droite $(\Delta)$ passe par $A(0,3,3)$ et est orthogonale à $(P)$, donc elle a pour vecteur directeur $\vec{n}(1,-1,1)$. Sa représentation paramétrique est :

c) Le point $H$ est le point de contact de $(P)$ avec $(S)$, donc $H \in (\Delta) \cap (P)$. Remplaçons les coordonnées de $(\Delta)$ dans l'équation de $(P)$ :

En remplaçant $t = 2$ dans $(\Delta)$, on obtient : $x_H = 2$, $y_H = 1$ et $z_H = 5$. Soit $H(2,1,5)$.

d) Le centre $\Omega$ de la sphère est le milieu du diamètre $[AH]$.

L'équation de la sphère de centre $\Omega(1,2,4)$ et de rayon $R = \sqrt{3}$ est :

3) La droite $(BH)$ passe par $B(1,2,1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{BH}(2-1, 1-2, 5-1) = \vec{BH}(1, -1, 4)$.
Une représentation paramétrique de $(BH)$ est :

Substituons ces expressions dans la forme réduite de l'équation de $(S)$ : Les solutions de cette équation du second degré sont $k = 1$ ou $k = \frac{1}{3}$.
• Pour $k = 1$, on obtient le point $M_1(2, 1, 5)$ (qui est le point $H$).
• Pour $k = \frac{1}{3}$, on obtient le point $M_2\left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right)$.
Les deux points d'intersection sont donc $H(2,1,5)$ et $M_2\left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right)$.

Correction de l'Exercice 3 :

1) On a $a = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.
Le module est : $|a| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$.
Cherchons l'argument : $a = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$.
Donc $\arg(a) \equiv \frac{5\pi}{6} \; [2\pi]$.

2) On sait que $c = 1 + a$ et $d = \bar{c} = 1 + \bar{a}$.

• Puisque $\left|\frac{c - d}{c - a}\right| = |i| = 1 \implies \frac{CD}{CA} = 1 \implies CD = CA$, le triangle est isocèle en $C$.
• De plus, $\arg\left(\frac{c - d}{c - a}\right) \equiv \arg(i) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi] \implies (\vec{CA}, \vec{CD}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$, le triangle est rectangle en $C$.
Ainsi, $ACD$ est un triangle isocèle rectangle en $C$.

3) a)
• $d - a = (1 + \bar{a}) - a = 1 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 1 - i$.
• $b - d = \left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - (1 + \bar{a}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{3}-1}{2} - i\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2}(1 - i)$.

b) On remarque que $b - d = \frac{\sqrt{3}-1}{2}(d - a) \implies \frac{b - d}{d - a} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Comme $\frac{\sqrt{3}-1}{2} \in \mathbb{R}$, les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{DB}$ sont colinéaires, d'où les points $A$, $D$ et $B$ sont alignés.

4) a) L'écriture de la transformation est de la forme $z' - 0 = a(z - 0)$. Comme $|a| = 1$ et $\arg(a) \equiv \frac{5\pi}{6} \; [2\pi]$, $R$ est la rotation de centre $O$ (l'origine) et d'angle $\frac{5\pi}{6}$.

b) Calculons $ad$ :

Comme l'affixe de $R(D)$ est $ad$ et que $ad = c$, on en déduit immédiatement que $R(D) = C$.

c) De la relation $c = ad$, on tire :

Comme $d = \bar{c}$, on a $\arg(d) \equiv -\arg(c) \; [2\pi]$.
Ainsi : $\arg(c) \equiv \frac{5\pi}{6} - \arg(c) \; [2\pi] \implies 2\arg(c) \equiv \frac{5\pi}{6} \; [2\pi] \implies \arg(c) \equiv \frac{5\pi}{12} \; [\pi]$.
Puisque la partie réelle de $c = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ et sa partie imaginaire est $\frac{1}{2} > 0$, l'argument est dans le premier quadrant, donc : $\arg(c) \equiv \frac{5\pi}{12} \; [2\pi]$.

Correction de l'Exercice 4 :

Le tirage étant successif et sans remise de 2 boules parmi 7, le nombre total de tirages possibles (le cardinal de l'univers) est donné par l'arrangement :

1) a) L'événement $G$ signifie "obtenir deux boules blanches". On choisit 2 boules parmi les 4 blanches :

b) L'événement $Z$ signifie "obtenir deux boules de couleurs différentes", c'est-à-dire $(B_1 \cap N_2)$ ou $(N_1 \cap B_2)$. L'ordre compte :

2) a) L'événement $N_1 \cap B_2$ correspond au tirage exact d'une noire en premier puis d'une blanche en second :

b) Obtenir une boule blanche en deuxième position peut se faire de deux manières indépendantes : $[B_1 \text{ puis } B_2]$ ou $[N_1 \text{ puis } B_2]$.

c) On cherche la probabilité conditionnelle $p(Z | B_2)$. Par définition :

L'intersection $Z \cap B_2$ correspond exactement à l'événement "les deux boules sont de couleurs différentes ET la deuxième est blanche", ce qui équivaut purement à $N_1 \cap B_2$.

Correction du Problème :

1)
• $f(0) = 0 - 1 + \frac{4}{e^0 + 2} = -1 + \frac{4}{1 + 2} = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.
• $f(\ln 2) = \ln 2 - 1 + \frac{4}{e^{\ln 2} + 2} = \ln 2 - 1 + \frac{4}{2 + 2} = \ln 2 - 1 + 1 = \ln 2$.

2) a)
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - 1 + \frac{4}{e^x + 2}\right) = +\infty$ car $\lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{e^x+2} = 0$.
• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(x - 1 + \frac{4}{e^x + 2}\right) = -\infty$ car $\lim_{x \to -\infty} (x-1) = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \implies \lim_{x \to -\infty} \frac{4}{e^x+2} = \frac{4}{2} = 2$.

b) $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x - 1)) = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{e^x + 2} = 0$.
Interprétation : La droite d'équation $y = x - 1$ est une asymptote oblique à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $+\infty$.

3) a) Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

La relation est donc vérifiée.

b) $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \implies \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{e^x + 2} = 0$.
On a alors $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (x + 1)) = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{2e^x}{e^x+2}\right) = 0$.
D'où la droite d'équation $y = x + 1$ est bien une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $-\infty$.

c)
• D'une part, $f(x) - (x - 1) = \frac{4}{e^x + 2} > 0$ car $e^x > 0$, donc $f(x) - x + 1 > 0 \implies f(x) - x > -1$.
• D'autre part, $f(x) - (x + 1) = -\frac{2e^x}{e^x + 2} < 0$, donc $f(x) - x - 1 < 0 \implies f(x) - x < 1$.
En combinant les deux encadrements, on obtient pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $-1 < f(x) - x < 1$.

4) a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables.

b) Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{2x} + 4 > 0$ et $(e^x + 2)^2 > 0$, d'où $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

5) a) La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Elle réalise donc une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R}) = ]\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$.
Par conséquent, pour tout réel $m$, l'équation $f(x) = m$ possède une unique solution dans $\mathbb{R}$.

b) On a $f(-1) = -1 - 1 + \frac{4}{e^{-1}+2} = -2 + \frac{4}{e^{-1}+2}$. Comme $e^{-1} \approx 0.37$, $e^{-1}+2 < 3 \implies \frac{4}{e^{-1}+2} > \frac{4}{3} \implies f(-1) < 0$.
Et on a déjà trouvé $f(0) = \frac{1}{3} > 0$.
Puisque $f(-1) \times f(0) < 0$ et que $f$ est continue et strictement croissante, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'unique solution $\alpha$ de $f(x)=0$ est bien dans $]-1, 0[$.
De plus : $f(\alpha) = 0 \implies \alpha - 1 + \frac{4}{e^\alpha + 2} = 0 \implies \frac{4}{e^\alpha + 2} = 1 - \alpha \implies e^\alpha + 2 = \frac{4}{1 - \alpha}$

6) a) En dérivant $f'(x) = \frac{e^{2x} + 4}{(e^x + 2)^2}$ :

En simplifiant par $(e^x+2)$ :

b) $e^x - 2 = 0 \iff e^x = 2 \iff x = \ln 2$.
• Si $x < \ln 2$, $e^x - 2 < 0$.
• Si $x > \ln 2$, $e^x - 2 > 0$.

c) Le dénominateur et $4e^x$ étant strictement positifs, le signe de $f''(x)$ est celui de $e^x - 2$.
La dérivée seconde $f''$ s'annule en $\ln 2$ en changeant de signe. La courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet donc un unique point d'inflexion d'abscisse $\ln 2$. Ses coordonnées sont $(\ln 2, f(\ln 2)) = (\ln 2, \ln 2)$.

d) L'équation de la tangente au point d'abscisse $\ln 2$ est :

On a $f'(\ln 2) = \frac{e^{2\ln 2} + 4}{(e^{\ln 2} + 2)^2} = \frac{4 + 4}{(2 + 2)^2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ et $f(\ln 2) = \ln 2$.

7) Construction de la courbe : On trace les deux asymptotes $y = x - 1$ (au voisinage de $+\infty$) et $y = x + 1$ (au voisinage de $-\infty$), le point d'inflexion $(\ln 2, \ln 2) \approx (0.69, 0.69)$ avec la tangente $(T)$ de pente $0.5$. La courbe monte régulièrement en passant par l'ordonnée à l'origine $(0, \frac{1}{3})$.

8) a) Exprimons l'intégrande de manière à faire apparaître une forme $\frac{u'}{u}$ :

Calculons l'intégrale :

9) b) On sait que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) - (x - 1) = \frac{4}{e^x + 2} > 0$, donc la courbe $(\mathcal{C}_f)$ est située au-dessus de l'asymptote $y = x - 1$. L'aire $\mathcal{A}$ recherchée est :