Correction Examen National PC 2025
Session Rattrapage - Sciences Physiques (BIOF - Internationale)
L'usage de la calculatrice scientifique non programmable est autorisé. On donnera les expressions littérales avant de passer aux applications numériques. Les exercices peuvent être traités selon l'ordre choisi par le candidat.
Exercice 1: Chimie (7 points)
1- Étude d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque
On prépare une solution aqueuse \( S_A \) d'acide éthanoïque \( \text{CH}_3\text{COOH} \) de volume \( V \) et de concentration molaire \( C_A = 4,2 \cdot 10^{-3} \text{ mol.L}^{-1} \). Son pH vaut \( \text{pH} = 3,6 \).
1-1- Écrire l'équation chimique modélisant la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau. (0,5 pt)
1-2- Exprimer \( \tau \), le taux d'avancement final de cette réaction, en fonction de \( C_A \) et pH. Calculer sa valeur. (0,5 pt)
Par définition, \( \tau = \frac{x_{eq}}{x_{max}} \). D'après le tableau d'avancement : \( x_{eq} = [\text{H}_3\text{O}^+]_{eq} \cdot V = 10^{-\text{pH}} \cdot V \). L'acide éthanoïque étant le réactif limitant, \( x_{max} = C_A \cdot V \).
1-3- Déterminer la valeur de \( \text{p}K_A \) du couple \( \text{CH}_3\text{COOH}_{(aq)}/\text{CH}_3\text{COO}^-_{(aq)} \). (0,5 pt)
La constante d'acidité est : \( K_A = \frac{[\text{CH}_3\text{COO}^-]_{eq} \cdot [\text{H}_3\text{O}^+]_{eq}}{[\text{CH}_3\text{COOH}]_{eq}} \)
D'après l'état d'équilibre : \( [\text{CH}_3\text{COO}^-]_{eq} = [\text{H}_3\text{O}^+]_{eq} = 10^{-\text{pH}} \) et \( [\text{CH}_3\text{COOH}]_{eq} = C_A - 10^{-\text{pH}} \)
1-4- Les courbes de la figure 1 représentent le diagramme de distribution des espèces acide et base conjuguée.
Figure 1
1-4-1- A partir du graphe, déterminer, à nouveau, la valeur du \( \text{p}K_A \). (0,5 pt)
À l'intersection des deux courbes, les proportions d'acide et de base sont égales (\( 50\% \)). On sait que lorsque \( [\text{CH}_3\text{COOH}] = [\text{CH}_3\text{COO}^-] \), alors \( \text{pH} = \text{p}K_A \). L'abscisse du point d'intersection donne directement : \( \mathbf{\text{p}K_A = 4,8} \).
1-4-2- Justifier que la courbe 1 correspond à l'espèce acide. (0,25 pt)
Quand le pH est très faible (milieu très acide), l'espèce prédominante est l'acide \( \text{CH}_3\text{COOH} \) dont le pourcentage doit être proche de \( 100\% \). La courbe 1 commence à \( 100\% \) pour \( \text{pH}=0 \), elle correspond donc à l'espèce acide.
1-4-3- On dilue la solution \( S_A \) pour obtenir une solution \( S_{A1} \) de concentration \( C_{A1} \) et de \( \text{pH}_1 = 4,2 \). En se basant sur les courbes de la figure 1, trouver la nouvelle valeur \( \tau_1 \) du taux d'avancement final. Que peut-on conclure à propos de l'effet de la dilution sur le taux d'avancement final ? (0,5 pt)
Par lecture graphique sur la Figure 1 pour \( \text{pH} = 4,2 \) : la proportion de base est de \( \alpha = 20\% \). Or, par définition : \( \tau_1 = \frac{[\text{CH}_3\text{COO}^-]_{eq}}{[\text{CH}_3\text{COOH}]_{eq} + [\text{CH}_3\text{COO}^-]_{eq}} = \frac{\alpha}{100} \).
Donc, \( \mathbf{\tau_1 = 0,20} \) (ou \( 20\% \)).
Conclusion : On remarque que \( \tau_1 > \tau \) (\( 20\% > 6\% \)). La dilution favorise la dissociation de l'acide, le taux d'avancement final augmente.
2- Étude d'une réaction d'estérification avec l'acide éthanoïque
Pour synthétiser l'éthanoate d'éthyle noté E, on fait réagir \( 0,100 \text{ mol} \) d'acide éthanoïque avec \( 0,100 \text{ mol} \) d'éthanol \( \text{C}_2\text{H}_5\text{OH} \). Lorsque la réaction est terminée, on dose l'acide restant avec une solution \( S_B \) de \( \text{HO}^- \) de concentration \( C_B = 1,50 \text{ mol.L}^{-1} \). Le volume à l'équivalence est \( V_{BE} = 22,0 \text{ mL} \).
2-1- Écrire, en utilisant les formules semi-développées, l'équation de la réaction d'estérification qui s'est produite. (0,75 pt)
2-2- Calculer la quantité de matière \( n_r \) d'acide restant en fin de la réaction d'estérification. (0,5 pt)
Le dosage de l'acide restant se fait par la base forte \( \text{HO}^- \). À l'équivalence :
2-3- En exploitant le tableau d'avancement de la réaction d'estérification, déterminer son rendement. (0,75 pt)
Le mélange initial étant équimolaire, l'avancement maximal est \( x_{max} = 0,100 \text{ mol} \). L'avancement final est \( x_f = n_0(\text{acide}) - n_r = 0,100 - 0,033 = 0,067 \text{ mol} \).
3- Étude d'une hydrolyse basique d'un ester
À \( t=0 \), on introduit \( n_{01} = 0,20 \text{ mmol} \) d'éthanoate d'éthyle dans un bécher contenant \( n_0(\text{HO}^-) = 1,0 \text{ mmol} \). Volume \( V = 50 \text{ mL} \). La réaction est totale. La courbe de la figure 2 représente l'évolution de \( x \). (T) est la tangente à \( t = 3 \text{ min} \).
Figure 2
3-1- Écrire, en utilisant les formules semi-développées, l'équation de la réaction associée à l'hydrolyse basique. (0,5 pt)
3-2- Répondre par vrai ou faux : «La vitesse volumique \( v(t) \) de cette réaction diminue au cours du temps ». (0,5 pt)
VRAI. La vitesse volumique est proportionnelle à \( \frac{dx}{dt} \), qui représente graphiquement le coefficient directeur de la tangente à la courbe \( x(t) \). Au cours du temps, la pente de ces tangentes diminue en raison de la diminution de la concentration des réactifs, donc la vitesse diminue.
3-3- Déterminer graphiquement \( t_{1/2} \) le temps de demi-réaction. (0,5 pt)
La réaction est totale et le réactif limitant est l'ester (\( n_{01} = 0,20 \text{ mmol} \)), donc \( x_f = 0,20 \text{ mmol} \). À \( t_{1/2} \), \( x = \frac{0,20}{2} = 0,10 \text{ mmol} \). Par lecture graphique, on trouve : \( \mathbf{t_{1/2} = 1 \text{ min}} \).
3-4- Déterminer, en unité \( \text{mmol.L}^{-1}\text{.min}^{-1} \), la vitesse volumique à \( t = 3 \text{ min} \). (0,75 pt)
En utilisant deux points de la tangente (T) à \( t = 3 \text{ min} \), par exemple \( P_1(3; 0,16) \) et \( P_2(1; 0,10) \) :
\( \frac{dx}{dt} = \frac{0,16 - 0,10}{3 - 1} = 0,03 \text{ mmol.min}^{-1} \)
Sachant que \( V = 50 \text{ mL} = 0,05 \text{ L} \) :
Exercice 2: Ondes lumineuses (2,5 points)
Cet exercice vise à déterminer l'indice de réfraction d'un liquide pour une lumière monochromatique. \( c = 3 \cdot 10^8 \text{ m.s}^{-1} \), \( n_a = 1 \).
1- Choisir la proposition juste : (0,5 pt)
L'affirmation exacte est la D : La fréquence d'une lumière monochromatique ne dépend pas du milieu de propagation.
2-1- Nommer le phénomène observé. Quel est alors l'aspect de la lumière mis en évidence ? (0,5 pt)
Le phénomène observé est la diffraction de la lumière. Il met en évidence l'aspect ondulatoire de la lumière.
2-2- Montrer que l'expression de la largeur \( L \) est : \( L = \frac{2 \lambda_a D}{a} \). (0,5 pt)
D'après la figure géométrique : \( \tan\theta = \frac{L/2}{D} \). Comme \( \theta \) est petit, \( \tan\theta \approx \theta \Rightarrow \theta = \frac{L}{2D} \). Or, \( \theta = \frac{\lambda_a}{a} \). En égalisant : \( \frac{L}{2D} = \frac{\lambda_a}{a} \Rightarrow \mathbf{L = \frac{2\lambda_a D}{a}} \).
3-1- Vérifier que \( n_L \simeq 1,33 \). (0,5 pt)
Dans le liquide, \( \lambda_L = \frac{\lambda_a}{n_L} \). La nouvelle largeur est \( L' = \frac{2\lambda_L D}{a} = \frac{L}{n_L} \).
3-2- Déduire \( V_L \) la vitesse de propagation de la lumière du laser dans ce liquide. (0,5 pt)
Exercice 3: Électricité (5 points)
EXERCICE 3: Électricité (5 points) - Les deux parties sont indépendantes
Le but de cet exercice est d'étudier :
- L'établissement et la rupture du courant électrique dans un circuit RL ;
- Un circuit LC idéal ;
- La modulation d'amplitude.
Partie I: L'établissement et la rupture du courant dans un circuit RL
Le dispositif schématisé dans la figure 1 comporte :
- Un générateur de force électromotrice $E=10\text{ V}$ et de résistance interne négligeable ;
- Une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable ;
- Deux conducteurs ohmiques l'un de résistance $R=100\text{ }\Omega$ et l'autre de résistance $R_{1}=1\text{ k}\Omega$ ;
- Une diode supposée idéale de tension seuil $u_{s}=0$ ;
- Un interrupteur K.
1- À la date $t=0$, on ferme K et par suite un courant électrique d'intensité $i$ circule dans le circuit.
1-1- Montrer que l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_{R}$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R$ s'écrit : $\frac{du_{R}}{dt} + \frac{R}{L}u_{R} = \frac{R\cdot E}{L}$. (0,5pt)
1-2- On visualise à l'aide d'un dispositif adéquat l'évolution temporelle de la tension $u_{R}$ (courbe de la figure 2). La droite (T) représente la tangente à la courbe au point d'abscisse $t=0$. En exploitant ce graphique, déterminer $\tau$ la constante de temps du circuit et $I_{0}$ l'intensité du courant en régime permanent. (0,75pt)
1-3- Vérifier que $L=0,10\text{ H}$. (0,5pt)
1-4- Quand le régime permanent est atteint, calculer la tension $u_{b}$ aux bornes de la bobine et $E_{m}$ l'énergie qui y est emmagasinée. (0,75pt)
2- Le régime permanent étant établi. À un instant $t=0$ choisi comme nouvelle origine des dates, on ouvre l'interrupteur K. Juste après l'ouverture de K (à l'instant $t=0^{+}$) :
2-1- Déterminer l'intensité du courant traversant la bobine. (0,25pt)
2-2- Vérifier que la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R_{1}$ est $u_{R1}=-100\text{ V}$. (0,25pt)
2-3- Déduire la valeur de $u_{b0}$ la tension aux bornes de la bobine. (0,25pt)
3- On forme un circuit oscillant LC considéré idéal par la bobine précédente et un condensateur de capacité $C=1\,\mu\text{F}$ totalement chargé par le générateur de f.e.m E.
3-1- Calculer $N_{0}$ la fréquence propre de cet oscillateur. (0,25pt)
3-2- Déterminer $I_{m}$ l'intensité maximale du courant électrique circulant dans ce circuit. (0,25pt)
Partie II: Modulation d'amplitude
Le but de cette partie est d'étudier la technique de modulation d'amplitude afin de transmettre une onde sonore audible de fréquence $f$. On réalise le montage schématisé sur la figure 3. On applique respectivement aux entrées $E_{1}$ et $E_{2}$ du circuit multiplieur X :
- La tension $u(t)=U_{0}+S_{m}\cos(2\pi f t)$ constituée d'une composante continue $U_{0}$ et de la tension $S(t)=S_{m}\cos(2\pi f t)$ correspondant à l'onde sonore qu'on désire transmettre ;
- La tension porteuse $p(t)=P_{m}\cos(2\pi F t)$ de fréquence $F$.
À la sortie du multiplieur, on obtient la tension de sortie $u_{s}(t)=k\cdot u(t)\cdot p(t)$ (figure 4), que l'on peut écrire sous la forme : $u_{s}(t)=A\cdot[1+m\cos(2\pi f t)]\cos(2\pi F t)$, avec $A$ et $m$ des paramètres du circuit.
1- En s'aidant du graphique de la figure 4, déterminer la fréquence $F$ de la porteuse et la fréquence $f$ de l'onde sonore. (0,5pt)
2- Déterminer la valeur de $A$ et celle de $m$. Conclure à propos de la qualité de la modulation. (0,75pt)
Partie I: Établissement et rupture du courant dans un circuit RL
Données: \( E=10 \text{ V} \), \( R=100 \Omega \), \( R_1=1 \text{ k}\Omega \), diode idéale, bobine sans résistance.
Figure 1 & Figure 2
1-1- Montrer que l'équation différentielle vérifiée par \( u_R \) s'écrit : \( \frac{du_R}{dt} + \frac{R}{L}u_R = \frac{RE}{L} \). (0,5 pt)
Loi d'additivité : \( u_b + u_R = E \). Avec \( u_b = L\frac{di}{dt} \) et \( u_R = Ri \Rightarrow i = \frac{u_R}{R}, \frac{di}{dt} = \frac{1}{R}\frac{du_R}{dt} \).
En remplaçant : \( L(\frac{1}{R}\frac{du_R}{dt}) + u_R = E \). En multipliant par \( \frac{R}{L} \), on obtient : \( \frac{du_R}{dt} + \frac{R}{L}u_R = \frac{RE}{L} \).
1-2- Déterminer \( \tau \) la constante du temps et \( I_0 \) l'intensité en régime permanent. (0,75 pt)
\( \tau \) est l'abscisse de l'intersection de la tangente à \( t=0 \) avec l'asymptote. Graphiquement : \( \mathbf{\tau = 1 \text{ ms}} \).
En régime permanent, \( u_{R,max} = E = 10 \text{ V} \). Donc \( I_0 = \frac{10}{100} = \mathbf{0,1 \text{ A}} \).
1-3- Vérifier que \( L = 0,10 \text{ H} \). (0,5 pt)
1-4- Quand le régime permanent est atteint, calculer \( u_b \) et \( E_m \). (0,75 pt)
En régime permanent, \( \frac{di}{dt} = 0 \Rightarrow \mathbf{u_b = 0 \text{ V}} \).
2- Le régime permanent étant établi, on ouvre K à \( t=0 \). Juste après (\( t=0^+ \)) :
2-1- Déterminer l'intensité du courant traversant la bobine. (0,25 pt)
Continuité du courant dans la bobine : \( \mathbf{i(0^+) = I_0 = 0,1 \text{ A}} \).
2-2- Vérifier que la tension aux bornes de \( R_1 \) est \( u_{R1} = 100 \text{ V} \). (0,25 pt)
2-3- Déduire la valeur de \( u_{b0} \) la tension aux bornes de la bobine. (0,25 pt)
Loi des mailles : \( u_b + u_{R1} = 0 \Rightarrow u_{b0} = -u_{R1} = \mathbf{-100 \text{ V}} \).
3- Circuit LC idéal avec \( C = 1 \mu\text{F} \) chargé par \( E \).
3-1- Calculer \( N_0 \) la fréquence propre. (0,25 pt)
3-2- Déterminer \( I_m \) l'intensité maximale du courant. (0,25 pt)
Conservation : \( \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}LI_m^2 \Rightarrow I_m = E\sqrt{\frac{C}{L}} \)
Partie II: Modulation d'amplitude
\( u(t) = U_0 + S_m \cos(2\pi ft) \), \( p(t) = P_m \cos(2\pi Ft) \). \( u_s(t) = k \cdot u(t) \cdot p(t) = A(1+m\cos(2\pi ft))\cos(2\pi Ft) \).
Figure 3 & Figure 4
1- Déterminer la fréquence \( F \) de la porteuse et la fréquence \( f \) de l'onde sonore. (0,5 pt)
Période du signal modulant \( T_s \) : Graphiquement \( T_s = 1 \text{ ms} \Rightarrow \mathbf{f = 1 \text{ kHz}} \).
Période porteuse \( T_P \) : 10 oscillations dans \( 1 \text{ ms} \Rightarrow T_P = 0,1 \text{ ms} \Rightarrow \mathbf{F = 10 \text{ kHz}} \).
2- Déterminer \( A \) et \( m \). Conclure sur la qualité. (0,75 pt)
Graphiquement : \( U_{max} = 0,33 \text{ V} \), \( U_{min} = 0,10 \text{ V} \).
Conclusion : \( m < 1 \) et \( F = 10f \). La modulation est de bonne qualité.
Exercice 4: Mécanique (5,5 points)
EXERCICE 4: Mécanique (5,5 points) - Les deux parties sont indépendantes
Partie I: Mouvement d'un skieur
On étudie dans cette partie le mouvement de chute libre d'un skieur. Le skieur part du point A de la piste AO et arrive au point O avec une vitesse $V_{0}=30\text{ m.s}^{-1}$ (figure 1). À son arrivée au point O, le skieur quitte la piste et on le considère en chute libre. La trajectoire du mouvement du skieur est située dans un plan vertical.
On modélise le skieur et son équipement par un solide (S), de masse $m$ et de centre d'inertie $G$.
Donnée : Intensité de la pesanteur : $g=10\text{ m.s}^{-2}$.
On étudie ce mouvement dans un référentiel terrestre supposé galiléen. À $t=0$, le centre d'inertie $G$ coïncide avec l'origine $O$.
1- En appliquant la deuxième loi de Newton, établir, dans le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ lié au référentiel terrestre, les équations horaires numériques du mouvement $x(t) $ et $y(t)$ du centre d'inertie $G$. (0,5pt)
2- Déduire que l'équation de la trajectoire du centre d'inertie $G$ s'écrit : $y=-5,56\cdot10^{-3}x^{2}$. (0,5pt)
3- Le skieur tombe au point E du plan incliné de l'angle $\alpha=20^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. Trouver la distance $d=OE$. (1pt)
Partie II: Pendule de torsion
Dans cette partie, on se propose d'étudier le mouvement d'un pendule de torsion afin de déterminer quelques grandeurs qui lui sont liées. Le dispositif de la figure 2 comporte un fil de torsion de masse négligeable et de constante de torsion $C$ et une barre métallique homogène AB. L'une des extrémités du fil est fixée en un point $O$ et l'autre est fixée au centre d'inertie $G$ de la barre. La barre AB effectue, sans frottement, dans le plan horizontal un mouvement de rotation autour de l'axe $(\Delta)$ confondu avec le fil.
Le moment d'inertie de AB par rapport à $(\Delta)$ est $J_{\Delta}=6,67\cdot10^{-3}\text{ kg.m}^{2}$.
On fait tourner, dans le sens positif, la barre AB autour de l'axe $(\Delta)$ d'un angle $\theta_{m}$ par rapport à sa position d'équilibre et on la libère sans vitesse initiale à l'instant $t=0$ pris comme origine des dates.
On repère la position de la barre à chaque instant par son abscisse angulaire $\theta(t)$ par rapport à sa position d'équilibre $\theta=0$.
1- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique dans le cas de la rotation au pendule de torsion étudié, établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par $\theta(t)$. (0,5pt)
2- La solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme : $\theta(t)=\theta_{m}\cos\left(\frac{2\pi}{T_{0}}t\right)$ avec $T_{0}$ la période propre de l'oscillateur.
2-1- Établir que : $T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{J_{\Delta}}{C}}$. (0,5pt)
2-2- La courbe de la figure 3 représente l'évolution temporelle de la vitesse angulaire $\dot{\theta}(t)$. Déterminer graphiquement $T_{0}$ et $\theta_{m}$. (0,75pt)
2-3- Calculer la valeur de $C$ (on prend $\pi^{2}=10$). (0,5pt)
3- On prend la position d'équilibre du pendule comme référence de l'énergie potentielle de torsion ($E_{pt}=0$) et le plan horizontal passant par $G$ comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur ($E_{pp}=0$). En s'aidant du graphique de la figure 3 et en exploitant la conservation de l'énergie mécanique :
3-1- Calculer $E_{m}$ l'énergie mécanique du système étudié. (0,5pt)
3-2- Déterminer $W_{c}$ le travail du couple de torsion entre les instants $t_{1}=0\text{ s}$ et $t_{2}=3,4\text{ s}$. (0,75pt)
Partie I: Mouvement d'un skieur
Le skieur quitte O avec \( V_0 = 30 \text{ m.s}^{-1} \). \( g = 10 \text{ m.s}^{-2} \). Repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
Figure 1
1- Établir les équations horaires numériques \( x(t) \) et \( y(t) \). (0,5 pt)
Newton : \( \vec{a}_G = \vec{g} \Rightarrow a_x = 0, a_y = -g \). Conditions initiales : \( x_0=0, y_0=0 \), \( v_{0x} = V_0\cos\alpha \approx 28,19 \), \( v_{0y} = -V_0\sin\alpha \approx -10,26 \) (avec \( \alpha=20^\circ \)).
2- Déduire que l'équation de la trajectoire s'écrit : \( y = -5,56 \cdot 10^{-3}x^2 \). (0,5 pt)
En éliminant \( t \) entre \( x(t) \) et \( y(t) \), on obtient l'équation quadratique. (L'énoncé fournit directement la forme simplifiée : \( \mathbf{y = -5,56 \cdot 10^{-3}x^2} \)).
3- Le skieur tombe au point E du plan incliné d'angle \( \alpha = 20^\circ \). Trouver \( d = OE \). (1 pt)
Coordonnées de E : \( x_E = d\cos\alpha \), \( y_E = -d\sin\alpha \). Injection dans \( y = -5,56 \cdot 10^{-3}x^2 \) :
\( -d\sin\alpha = -5,56 \cdot 10^{-3} d^2 \cos^2\alpha \Rightarrow d = \frac{\sin\alpha}{5,56 \cdot 10^{-3} \cos^2\alpha} \)
Partie II: Pendule de torsion
Fil de constante \( C \), moment d'inertie \( J_\Delta = 6,67 \cdot 10^{-3} \text{ kg.m}^2 \). Équation : \( \ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\theta = 0 \).
Figure 2 & Figure 3
1- Établir l'équation différentielle du mouvement \( \theta(t) \). (0,5 pt)
RFD en rotation : \( \sum \mathcal{M}_\Delta = J_\Delta \ddot{\theta} \). Seul le couple de torsion \( \mathcal{M}_t = -C\theta \) agit.
2-1- Établir que : \( T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C}} \). (0,5 pt)
Solution \( \theta(t) = \theta_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t) \Rightarrow \ddot{\theta} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 \theta \). En injectant : \( \frac{C}{J_\Delta} = (\frac{2\pi}{T_0})^2 \Rightarrow \mathbf{T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C}}} \).
2-2- Déterminer \( T_0 \) et \( \theta_m \) à partir de la figure 3. (0,75 pt)
Graphiquement, la durée d'une oscillation complète est \( \mathbf{T_0 = 2 \text{ s}} \).
Vitesse angulaire max \( \dot{\theta}_{max} \approx 0,1\pi \text{ rad.s}^{-1} \). Or \( \dot{\theta}_{max} = \frac{2\pi}{T_0}\theta_m \Rightarrow \theta_m = \frac{\dot{\theta}_{max} T_0}{2\pi} = \mathbf{0,1 \text{ rad}} \).
2-3- Calculer \( C \) (on prend \( \pi^2 = 10 \)). (0,5 pt)
3-1- Calculer \( E_m \) l'énergie mécanique du système. (0,5 pt)
En position d'équilibre (\( \theta=0 \)), l'énergie est purement cinétique :
3-2- Déterminer \( W_c \) le travail du couple de torsion entre \( t_1 = 0 \text{ s} \) et \( t_2 = 3,4 \text{ s} \). (0,75 pt)
Théorème de l'énergie cinétique : \( W_c = \Delta E_c = E_c(t_2) - E_c(t_1) \).
À \( t_1=0 \), libéré sans vitesse initiale \( \Rightarrow E_c(t_1)=0 \).
À \( t_2=3,4 \text{ s} \), lecture graphique : \( \dot{\theta}(3,4) \approx -0,30 \text{ rad.s}^{-1} \).