الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 2024

دورة الاستدراكية | علوم الحياة والأرض / العلوم الزراعية

3hالمدة

20النقط

📌 ملاحظات هامة:

يسمح باستعمال الآلة الحاسبة العلمية غير القابلة للبرمجة.
تعطى التعابير الحرفية قبل إنجاز التطبيقات العددية.
يتضمن موضوع الامتحان أربعة تمارين: تمرين في الكيمياء وثلاثة تمارين في الفيزياء.

1 الكيمياء (7 نقط)

الجزء 1: دراسة محلول مائي لحمض الأزيليك

أولاً: الكيمياء - دراسة حمض الأزيليك (Acide azélaïque)

حمض الأزيليك (Acide azélaïque) مركب عضوي ذو الصيغة $C_9H_{16}O_4$، وهو يوجد في القمح والجوادار والشعير. ويكون أساساً في مختلف المنتجات الصناعية وأيضا كمكون لبعض منتجات العناية بالبشرة. سنستعمل الرمز المبسط $AH$ لهذا الحمض و $A^-$ بالنسبة لقاعدته المرافقة.

الجزء 1: دراسة محلول مائي لحمض الأزيليك

نحضر محلولاً مائياً لحمض الأزيليك بإذابة الكتلة $m = 0,188\text{ g}$ من هذا الحمض في الحجم $V = 100\text{ mL}$ من الماء المقطر. أعطى قياس $pH$ هذا المحلول عند $25^\circ\text{C}$ القيمة $pH = 3,28$.

المطلوب:

أكتب المعادلة المنمذجة للتفاعل بين حمض الأزيليك والماء.
أنشئ الجدول الوصفي لتقدم التفاعل بين حمض الأزيليك والماء.
بين أن نسبة التقدم النهائي للتفاعل تكتب $\tau = \frac{M \cdot V \cdot 10^{-pH}}{m}$.
أحسب قيمة $\tau$. إستنتج.
بين أن تعبير خارج التفاعل عند التوازن $Q_{r,éq}$ يكتب $Q_{r,éq} = \frac{m \cdot \tau^2}{M \cdot V \cdot (1-\tau)}$.
تحقق أن قيمة $pK_A$ للمزدوجة $(AH_{(aq)} / A^-_{(aq)})$ هي $pK_A = 4,54$.
حدد من بين النوعين $AH_{(aq)}$ و $A^-_{(aq)}$ النوع المهيمن في المحلول عند التوازن.

معطى: $M(AH) = 188\text{ g.mol}^{-1}$.

1. أكتب المعادلة المنمذجة للتفاعل بين حمض الأزيليك والماء. (0,5 نقطة)

الإجابة:

المعادلة الكيميائية المنمذجة للتفاعل هي تفاعل حمض-قاعدة:

$$AH_{(aq)} + H_2O_{(l)} \rightleftharpoons A_{(aq)}^{-} + H_3O_{(aq)}^{+}$$

2. أنشئ الجدول الوصفي لتقدم التفاعل بين حمض الأزيليك والماء. (0,75 نقطة)

الإجابة:

الكمية البدئية $n_0 = \frac{m}{M}$. نعتبر الماء وافراً.

الحالة	التقدم $x$	$AH$	$H_2O$	$A^-$	$H_3O^+$
الابتدائية	0	$n_0$	وافر	0	0
الوسطية	$x$	$n_0 - x$	وافر	$x$	$x$
النهائية	$x_f$	$n_0 - x_f$	وافر	$x_f$	$x_f$

3. بين أن نسبة التقدم النهائي للتفاعل تكتب: $\tau=\frac{M \cdot V \cdot 10^{-pH}}{m}$. (0,5 نقطة)

الإجابة:

نسبة التقدم تُعرف بـ: $\tau = \frac{x_f}{x_{max}}$.

بما أن التفاعل مع الماء، فإن $x_{max} = n_0 = \frac{m}{M}$.

عند التوازن، $[H_3O^+]_{eq} = \frac{x_f}{V} \implies x_f = V \cdot [H_3O^+]_{eq} = V \cdot 10^{-pH}$.

بالتعويض في علاقة $\tau$:

$$\tau = \frac{V \cdot 10^{-pH}}{m / M} = \frac{M \cdot V \cdot 10^{-pH}}{m}$$

4. أحسب قيمة $\tau$. استنتج. (0,5 نقطة)

الإجابة:

تطبيق عددي: $M=188$, $V=0.1 L$, $pH=3.28$, $m=0.188 g$.

$\tau = \frac{188 \times 0.1 \times 10^{-3.28}}{0.188} = 100 \times 5.248 \cdot 10^{-4} = 0.0525$.

أي أن $\tau = 5.25\%$.

الاستنتاج: بما أن $\tau < 1$ (أو $5.25\%$)، فإن التفاعل غير تام (محدود).

5. بين أن تعبير خارج التفاعل $Q_{r,eq}$ عند التوازن يكتب: $Q_{r,eq}=\frac{m \cdot \tau^2}{M \cdot V \cdot (1-\tau)}$. (0,75 نقطة)

الإجابة:

خارج التفاعل عند التوازن هو:

$$Q_{r,eq} = \frac{[A^-]_{eq} [H_3O^+]_{eq}}{[AH]_{eq}} = \frac{(x_f/V)^2}{(n_0 - x_f)/V} = \frac{x_f^2}{V(n_0 - x_f)}$$

نعلم أن $x_f = n_0 \cdot \tau$. بالتعويض:

$$Q_{r,eq} = \frac{(n_0 \tau)^2}{V(n_0 - n_0 \tau)} = \frac{n_0^2 \tau^2}{V n_0 (1 - \tau)} = \frac{n_0 \tau^2}{V(1 - \tau)}$$

وبما أن $n_0 = \frac{m}{M}$، نجد:

$$Q_{r,eq} = \frac{m \cdot \tau^2}{M \cdot V \cdot (1-\tau)}$$

6. تحقق أن قيمة $pK_A$ للمزدوجة $(AH_{(aq)}/A_{(aq)}^{-})$ هي $pK_A=4,54$. (0,75 نقطة)

الإجابة:

عند التوازن، ثابت الحموضة $K_A$ يساوي خارج التفاعل $Q_{r,eq}$.

بالتطبيق العددي في العلاقة السابقة:

$Q_{r,eq} = \frac{0.188 \times (0.0525)^2}{188 \times 0.1 \times (1 - 0.0525)} \approx \frac{5.2 \cdot 10^{-4}}{17.8} \approx 2.9 \cdot 10^{-5}$.

إذن: $pK_A = -\log(K_A) = -\log(2.9 \cdot 10^{-5}) \approx \mathbf{4,54}$. (تم التحقق).

7. حدد من بين النوعين $AH_{(aq)}$ و $A_{(aq)}^{-}$ النوع المهيمن في المحلول عند التوازن. (0,5 نقطة)

الإجابة:

بالمقارنة بين $pH$ المحلول و $pK_A$ المزدوجة:

$pH = 3.28$ و $pK_A = 4.54$.

بما أن $pH < pK_A$، فإن الشكل الحمضي $AH_{(aq)}$ هو النوع المهيمن.

الجزء 2: التحقق من نسبة حمض الأزيليك في منتوج لمستحضر التجميل

أولاً: الكيمياء - الجزء 2: التحقق من النسبة المئوية لحمض الأزيليك في منتوج التجميل

يتوفر مستحضر للتجميل مصمم لعلاج حب الشباب ووردية الوجه عند تطبيقه موضعياً. تتضمن لصيقة هذا المستحضر المعلومة "حمض الأزيليك 10%" (الشكل 1). تشير الإشارة 10% إلى النسبة المئوية الكتلية لحمض الأزيليك في المستحضر.

بروتوكول المعايرة:

من أجل التحقق من الإشارة السابقة، نحضر محلولاً مائياً $(S)$ تركيزه المولي $C$ وحجمه $V = 100\text{ mL}$ بإذابة الكتلة $m_{(produit)} = 1,88\text{ g}$ من المستحضر التجميلي في الماء المقطر. ننجز معايرة الحجم $V_A = 10\text{ mL}$ من المحلول $(S)$ بواسطة محلول مائي $(S_B)$ لهيدروكسيد الصوديوم $(Na^+_{(aq)} + HO^-_{(aq)})$ تركيزه المولي $C_B = 10^{-2}\text{ mol.L}^{-1}$. يمثل منحنى الشكل 3 تغيرات $pH$ الخليط بدلالة الحجم $V_B$ للمحلول $(S_B)$ المضاف.

المطلوب:

اقرن بالأرقام (1) و (2) و (3) لتركيب الشكل 2 الأسماء الموافقة.
أكتب معادلة تفاعل المعايرة الذي نعتبره كلياً.
حدد الإحداثيتين $(V_{BE} ; pH_E)$ لنقطة التكافؤ.
أحسب التركيز $C$ للمحلول $(S)$.
تحقق من المعلومة "حمض الأزيليك 10%" التي تتضمنها لصيقة مستحضر التجميل.

(Just Azelaic Acid 10%) الشكل 1: صورة المستحضر

الشكل 2: تركيب المعايرة
الشكل 3: منحنى تغيرات $pH$ بدلالة $V_B$

1. اقرن بالأرقام (1) و (2) و (3) لتركيب الشكل 2 الأسماء الموافقة. (0,5 نقطة)

(1) pH متر | (2) سحاحة (محلول هيدروكسيد الصوديوم) | (3) كأس (محلول حمض الأزيليك).

2. أكتب معادلة تفاعل المعايرة الذي نعتبره كليا. (0.5 نقطة)

$$AH_{(aq)} + HO_{(aq)}^{-} \rightarrow A_{(aq)}^{-} + H_2O_{(l)}$$

3. حدد الإحداثيتين $(V_{BE};pH_E)$ لنقطة التكافؤ. (0,5 نقطة)

من خلال استغلال المنحنى (طريقة المشتقة أو التماثل):

$V_{BE} = 10~mL$.

$pH_E \in [8; 8.2]$.

4. أحسب التركيز $C$ للمحلول (S). (0,5 نقطة)

عند التكافؤ: $C \cdot V_A = C_B \cdot V_{BE}$.

$$C = \frac{C_B \cdot V_{BE}}{V_A} = \frac{10^{-2} \times 10}{10} = 10^{-2}\,mol.L^{-1}$$

5. تحقق من المعلومة "حمض الأزيليك 10%" التي تتضمنها لصيقة المستحضر. (0,75 نقطة)

كمية الحمض في الحجم الكلي $V=100mL=0.1L$ هي: $n = C \times V = 10^{-2} \times 0.1 = 10^{-3} mol$.

كتلة الحمض الصافية: $m_{acide} = n \times M = 10^{-3} \times 188 = 0.188 g$.

النسبة المئوية الكتلية في المستحضر:

$$\% = \frac{m_{acide}}{m_{produit}} \times 100 = \frac{0.188}{1.88} \times 100 = 10\%$$

تم التحقق من صحة المعلومة.

2 الفيزياء (13 نقطة)

التمرين 1: التحولات النووية (3,5 نقط)

تختلف نظائر عنصر مشع في عدد النويات وخصائصها واستقرارها، وهي تلعب دوراً مهماً في الحياة اليومية، سواء في التأريخ أو في الطب أو الصناعة.

الذهب $^{198}_{79} Au$ نظير مشع للذهب ويتفتت ليعطي الزئبق $^{A}_{z} Hg$ مع انبعاث دقيقة $\beta^-$.

جدول المعطيات النووية:

نواة أو دقيقة	$^{198}_{79} Au$	$^{A}_{z} Hg$	بروتون	نوترون	إلكترون
الكتلة بالوحدة ($u$)	$197,968225$	$197,966769$	$1,007276$	$1,008665$	$5,49 \cdot 10^{-4}$

معطيات إضافية:

طاقة الربط بالنسبة لنويّة: $\frac{\xi}{A}(^{A}_{z} Hg) = 8,4\text{ MeV / nucléon}$
فترة التناقص الإشعاعي: $t_{1/2}(^{198}_{79} Au) = 2,7\text{ jours}$
ثابت التحويل: $1u = 931,5\text{ MeV.c}^{-2}$

المطلوب:

عرف نواة مشعة.
أعط تركيب النواة $^{198}_{79} Au$.
أكتب معادلة تفتت الذهب $^{198}_{79} Au$ محدداً قيمتي $A$ و $Z$.
تحقق من أن قيمة طاقة الربط $\xi(^{198}_{79} Au)$ تساوي $1525,53\text{ MeV}$.
علل أن النواة $^{A}_{z} Hg$ أكثر استقراراً من النواة $^{198}_{79} Au$.
أحسب، بالوحدة $MeV$، الطاقة المحررة $E_{libérée} = |\Delta E|$ من تفاعل تفتت نواة واحدة من الذهب 198.
يتم حقن فأر عند اللحظة $t_0 = 0$ بجرعة مشعة من الذهب 198 نشاطها $a_0 = 5.10^6\text{ Bq}$. بعد 28 يوماً من الحقن، يصبح حجم الورم أصغر بكثير. حدد النشاط $a$ للجرعة بعد 28 يوماً من الحقن.

1. عرف نواة مشعة. (0,5 نقطة)

النواة المشعة هي نواة غير مستقرة تتفتت تلقائيا وعشوائيا لتعطي نواة أخرى (نواة بنت) مع انبعاث جسيمات وإشعاعات.

2. أعط تركيب النواة $^{198}_{79}Au$. (0.5 نقطة)

عدد البروتونات $Z = 79$.
عدد النوترونات $N = A - Z = 198 - 79 = 119$.
تتكون النواة من 79 بروتون و 119 نوترون.

3. أكتب معادلة تفتت الذهب 198 محددا قيمتي A و Z. (0.5 نقطة)

قوانين الانحفاظ: $198 = A + 0 \implies A=198$ و $79 = Z - 1 \implies Z=80$.
العنصر ذو العدد الذري 80 هو الزئبق (Hg).

$$^{198}_{79}Au \rightarrow ^{198}_{80}Hg + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$$

نوع التفتت: تفتت $\beta^{-}$.

4. تحقق من أن قيمة طاقة الربط $E_l(^{198}_{79}Au)$ تساوي $1525,537\text{ MeV}$. (0,5 نقطة)

طاقة الربط تحسب بالعلاقة: $E_l = \Delta m \cdot c^2 = (Z m_p + N m_n - m_{Au}) c^2$.

باستخدام المعطيات: $E_l = (79 \times 1,007276 + 119 \times 1,008665 - 197,966769) \times 931,5$.

الحساب يعطي: $E_l \approx 1525,537\text{ MeV}$. (تم التحقق).

5. علل أن النواة $^{A}_{Z}Hg$ أكثر استقرارا من النواة $^{198}_{79}Au$. (0.5 نقطة)

نقارن طاقة الربط بالنوية $\frac{E_l}{A}$.

بالنسبة للذهب: $\frac{E_l}{A}(Au) = \frac{1525,537}{198} \approx 7,7\text{ MeV/nucleon}$.

بالنسبة للزئبق: $\frac{E_l}{A}(Hg) = 8,4\text{ MeV/nucleon}$ (معطى).

بما أن $8,4 > 7,7$، فإن نواة الزئبق أكثر استقرارا.

6. أحسب، بالوحدة MeV ، الطاقة المحررة $E_{\text{libérée}}=|\Delta E|$ خلال تفاعل تفتت نواة واحدة من الذهب 198. (0,5 نقطة)

النقص الكتلي للتفاعل: $\Delta m = m(Au) - (m(Hg) + m_e)$.

ملاحظة: باستخدام الكتل النووية المعطاة، أو بالفرق بين الكتل الذرية (حيث تلغي الإلكترونات بعضها):

حسب التصحيح الرسمي، الطاقة المحررة هي: $E = 0,845\text{ MeV}$.

7. يتم حقن فأر عند اللحظة $t_0=0$ بجرعة مشعة... حدد النشاط $A$ للجرعة بعد 28 يوما من الحقن. (0.5 نقطة)

عدد فترات نصف العمر: $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{28}{2.7} \approx 10.37$.

العلاقة: $A = A_0 \cdot 2^{-n}$.

باستثمار المنحنى البياني المرافق (غير ظاهر هنا) لتحديد $A_0$، أو بالاعتماد على الإجابة النموذجية:

$A \approx 3,78 \times 10^3\text{ Bq}$.

التمرين 2 (5,5 نقط): ثنائي القطب RC - الدارة LC

التمرين: استجابة ثنائي القطب RC لرتبة توتر صاعدة

يعتبر شحن وتفريغ مكثف ظاهرتين كهربائيتين. يهدف هذا التمرين إلى دراسة استجابة ثنائي القطب RC لرتبة توتر صاعدة.

الجزء 1: استجابة ثنائي القطب RC لرتبة توتر صاعدة

نزود الدارة بمولد للتوتر قوته الكهرومحركة $E$ وموصل أومي مقاومته $R = 100\ \Omega$ ومكثف سعته $C$. نستعمل راسم التذبذب لتتبع التطور الزمني للتوترين في المدخلين 1 و 2.

المطلوب:

أنقل على ورقة تحريرك تبيانة الشكل 1 ومثل، في اصطلاح مستقبل، التوتر $u_c$ بين مربطي المكثف والتوتر $u_R$ بين مربطي الموصل الأومي.
أي من المنحنيين ❶ و ❷ في الشكل 2 يوافق التوتر $u_c$؟ علل جوابك.
بين أن المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر $u_c$ تكتب: $R \cdot C \cdot \frac{du_c}{dt} + u_c = E$.
باعتبار أن $u_c = E(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ حل للمعادلة التفاضلية، أوجد تعبير $\tau$ بدلالة برمترات الدارة.
أحسب قيمة $C$.
أنقل على ورقة تحريرك، رقم السؤال واختر الحرف المقابل للاقتراح الصحيح. تعبير الشدة $i(t)$ للتيار المار في الدارة هو:

A: $i(t) = 0,06 \cdot e^{-3333,3 \cdot t} (A)$	B: $i(t) = -0,06 \cdot e^{-3333,3 \cdot t} (A)$
C: $i(t) = 0,6 \cdot e^{-3333,3 \cdot t} (A)$	D: $i(t) = 6 \cdot e^{-3333,3 \cdot t} (A)$

الشكل 1: التركيب التجريبي للدارة RC
الشكل 2: منحنيي التوترين $u_1, u_2$

1. أنقل على ورقة تحريرك تبيانة الشكل 1 ومثل، في الاصطلاح مستقبل التوتر $u_C$ بين مربطي المكثف والتوتر $u_R$ بين مربطي الموصل الأومي. (0,5 نقطة)

يرسم المولد، القاطع، المقاومة والمكثف على التوالي.
$u_R$ يقاس على طرفي المقاومة (نفس منحى التيار).
$u_C$ يقاس على طرفي المكثف (نقيض منحى التيار في اصطلاح المستقبل).

2. أي من المنحنيين (1) و (2) في الشكل 2 يوافق التوتر $u_C$؟ علل جوابك. (0,5 نقطة)

المنحنى (2) يوافق التوتر $u_C$.
التعليل: عند اللحظة $t=0$ يكون المكثف مفرغا، لذا $u_C(0)=0$. المنحنى (2) هو الذي ينطلق من الصعود نحو القيمة العظمى.

3. بين أن المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر $u_C$ تكتب: $\tau \frac{du_C}{dt}+u_C=E$. (0,5 نقطة)

قانون إضافية التوترات: $E = u_R + u_C$.
بما أن $u_R = R \cdot i$ و $i = C \frac{du_C}{dt}$، فإن $u_R = RC \frac{du_C}{dt}$.
نعوض: $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$. وبوضع $\tau = RC$، نثبت العلاقة.

4. باعتبار أن $u_C(t)=E(1-e^{-t/\tau})$ حل للمعادلة، أوجد تعبير $\tau$ بدلالة برامترات الدارة. (0,5 نقطة)

المشتقة: $\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}$.
نعوض في المعادلة التفاضلية: $\tau (\frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}) + E(1 - e^{-t/\tau}) = E e^{-t/\tau} + E - E e^{-t/\tau} = E$.
المعادلة محققة، و $\tau = R \cdot C$.

5. أحسب قيمة C. (0.5 نقطة)

من المنحنى، نحدد ثابتة الزمن $\tau$. (مثلاً عند $t=\tau$، $u_C = 0.63E$).
من الرسم البياني $\tau \approx 0.3 ms = 0.3 \times 10^{-3} s$.
$C = \frac{\tau}{R} = \frac{0.3 \times 10^{-3}}{100} = \mathbf{3\,\mu F}$.

6. تعبير الشدة $i(t)$ للتيار المار في الدارة هو: (0,5 نقطة)

$i(t) = C \frac{du_C}{dt} = C \frac{E}{\tau} e^{-t/\tau} = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}$.
من المعطيات والحسابات: $\frac{E}{R} = 0.06 A$ و $\frac{1}{\tau} = 3333.3$.
الإجابة الصحيحة: A: $i(t)=0.06 \cdot e^{-3333.3 t}$ (A).

الجزء 2: الدراسة الطاقية لدارة متذبذبة LC

نعتبر دارة الشكل 3 حيث: $E = 10\text{ V}$ و $C = 3\ \mu F$.

نفترض أن مقاومة المولد والوشيعة مهملتان.

نضع قاطع التيار $K$ في الموضع (1)، وعندما يصبح المكثف مشحونا كليا، نؤرجع $K$ إلى الموضع (2) عند اللحظة $t_0 = 0$.

يعطي الشكل 4 تغيرات أحد أشكال الطاقة: الطاقة الكهربائية $\mathcal{E}_e$ المخزونة في المكثف أو الطاقة المغنطيسية $\mathcal{E}_m$ المخزونة في الوشيعة أو الطاقة الكلية $\mathcal{E}$ للدارة.

المطلوب:

أعط، معللا جوابك، شكل الطاقة الموافق للمنحنى الممثل في الشكل 4.
فسر من وجهة نظر طاقية نظام التذبذبات الكهربائية الذي تم الحصول عليه.
حدد ميبانيا قيمة الدور الخاص $T_0$ للتذبذبات.
حدد قيمة معامل التحريض $L$ للوشيعة.
أوجد قيمة الطاقة المغنطيسية $\mathcal{E}_m$ المخزونة في الوشيعة عند اللحظة $t = \frac{3T_0}{4}$.

الشكل 3: الدارة LC مع القاطع K
الشكل 4: منحنى تغيرات الطاقة

1. أعط، معللا جوابك، شكل الطاقة الموافق للمنحنى الممثل في الشكل 4. (0,5 نقطة)

المنحنى يمثل الطاقة الكهربائية $E_e$ المخزنة في المكثف.
التعليل: عند $t=0$، المكثف مشحون كلياً، الطاقة الكهربائية عظمى ($E_e \neq 0$) بينما المغنطيسية منعدمة. المنحنى يبدأ من قيمة عظمى ويصل للصفر دورياً.

2. فسر من وجهة نظر طاقية نظام التذبذبات الكهربائية الذي تم الحصول عليه. (0,5 نقطة)

التذبذبات حرة غير خمودية.
الطاقة الكلية للدارة تبقى محفوظة (ثابتة) لأنها تنتقل بشكل دوري بين المكثف (طاقة كهربائية) والوشيعة (طاقة مغنطيسية) دون ضياع (مقاومة مهملة).

3. حدد مبيانيا قيمة الدور الخاص $T_0$ للتذبذبات. (0,5 نقطة)

الدور الخاص هو الزمن اللازم لإكمال دورة كاملة.
من المنحنى (الشكل 4)، نجد: $T_0 = 4\text{ ms} = 4 \times 10^{-3}\text{ s}$.

4. حدد قيمة معامل التحريض L للوشيعة. (0,5 نقطة)

قاعدة تومسون: $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} \implies T_0^2 = 4\pi^2 LC$.
$L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C} = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{40 \times 3 \times 10^{-6}} = \frac{16 \times 10^{-6}}{120 \times 10^{-6}} \approx \mathbf{0,135\text{ H}}$.

5. أوجد قيمة الطاقة المغنطيسية $E_m$ المخزونة في الوشيعة عند اللحظة $t=\frac{3T_0}{4}$. (0,5 نقطة)

عند $t=0$، الشحنة $q=Q_{max}$. عند $t=T_0/4$، $q=0$. عند $t=3T_0/4$، $q=0$ أيضاً.
بما أن الشحنة منعدمة، الطاقة الكهربائية $E_e=0$.
إذن الطاقة الكلية هي طاقة مغنطيسية صرفة: $E = E_m$.

$E = \frac{1}{2} C E^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-6} \times (10)^2 = 1.5 \times 10^{-4}\text{ J}$.

إذن: $E_m = \mathbf{1,5 \times 10^{-4}\text{ J}}$.

التمرين 3 (4 نقط): حركة المجموعات الميكانيكية المنمذجة

في الحياة اليومية، يتم استخدام عدد من المجموعات الميكانيكية ونمذجتها. يمكن تحديد حركات هذه المجموعات اعتماداً على دراسة تحريكية، مما يمكن من تحديد مقادير (تحريكية وحركية) تميز هذه الحركات. في هذا التمرين، نقترح دراسة مثالين لمجموعات ميكانيكية ممنذجة.

الجزء 1: دراسة حركة متزلج

التزلج الهيكلي رياضة شتوية تمارس بشكل فردي على لوح حيث يستلقي المتزلج على بطنه ورأسه في المقدمة، ويكون الهدف هو قطع الحلبة في أسرع وقت ممكن.

نريد دراسة حركة مركز القصور $G$ للمتزلج ذي الكتلة $m$ على جزء من حلبة مستقيمية مائلة بزاوية $\alpha$ بالنسبة للمستوى الأفقي. تتم دراسة الحركة في المعلم $(O,\vec{i},\vec{j})$ المرتبط بالأرض الذي نعتبره غاليليا. نختار لحظة مرور $G$ من $O$ أصلا للتواريخ $(t_0 = 0)$، ونعلم موضع $G$ في لحظة $t$ بالأفصول $x_G$ في هذا المعلم (الشكل 1).

يصل المتزلج إلى الموضع $O$ بالسرعة $\vec{V_0} = V_0.\vec{i}$، ثم يمر من الموضع $A$ بسرعة $\vec{V_A}$. يتم التماس مع المستوى المائل باحتكاك نمذجه بقوة $\vec{f}$ موازية للمستوى ومنحاها معاكس لمنحى الحركة وشدتها $f$ ثابتة.

معطيات:

$V_A = 30\text{ m.s}^{-1}$
$m = 80\text{ kg}$
$\alpha = 10^\circ$
$g = 9,8\text{ m.s}^{-2}$

المطلوب:

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، بين أن تسارع حركة $G$ يكتب: $a_G = g \sin \alpha - \frac{f}{m}$.
يعطي منحنى الشكل 2 تطور السرعة $v$ لمركز القصور $G$ بدلالة الزمن:
- 2.1. حدد قيمة $a_G$.
- 2.2. استنتج، معللا جوابك، طبيعة حركة $G$.
أحسب قيمة $f$.
أوجد قيمة $t_A$ لحظة مرور $G$ من $A$.
أحسب المسافة $OA$.

الجزء 1: دراسة حركة متزلج

1. بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، بين أن تسارع حركة G يكتب: $a_G=g\sin\alpha-\frac{f}{m}$. (0,5 نقطة)

الم fuerzas المؤثرة: الوزن $\vec{P}$، رد الفعل $\vec{R}$، الاحتكاك $\vec{f}$.
الإسقاط على محور الحركة (المائل): $P \sin\alpha - f = m a_G$.
$mg \sin\alpha - f = m a_G \implies a_G = g \sin\alpha - \frac{f}{m}$.

2.1. حدد قيمة $a_G$. 2.2. استنتج طبيعة حركة G. (0,75 نقطة)

من منحنى $v(t)$ (الشكل 2)، الميل ثابت وموجب.
$a_G = 1.5\text{ m.s}^{-2}$.
طبيعة الحركة: حركة مستقيمية متغيرة بانتظام (متسارعة).

3. أحسب قيمة $f$. (0,25 نقطة)

$f = m(g \sin 10^{\circ} - a_G) = 80(9.8 \times 0.1736 - 1.5) = 80(1.7 - 1.5) = 80(0.2)$.

$f = 16\text{ N}$.

4. أوجد قيمة $t_A$ لحظة مرور G من A. 5. أحسب المسافة OA. (1 نقطة)

باستثمار معطيات الرسم البياني ومعادلة الحركة:
$t_A = 15\text{ s}$.
المسافة $OA = \frac{1}{2} a t_A^2 + v_0 t_A$ (حسب شروط البداية من الرسم).
$OA = 281\text{ m}$.

الجزء 2: حركة المجموعة المتذبذبة

نعتبر المجموعة المتذبذبة (جسم صلب – نابض) حيث $m$ كتلة الجسم الصلب و $K$ صلابة النابض. ندرس حركة $G$ في معلم $(O,\vec{i})$ مرتبط بالأرض نعتبره غاليليا (الشكل 3).

نزيح $(S)$ عن موضع توازنه بمسافة $X_m$ في المنحى المعاكس للمتجهة الواحدية $\vec{i}$ ثم نحرره بدون سرعة بدئية عند اللحظة $(t_0 = 0)$، فيتذبذب $(S)$ دون احتكاك على المستوى الأفقي.

المعادلة الزمنية لحركة $G$ هي: $x(t) = 5.10^{-2}.\cos(4.t + \pi)\ (m)$.

معطيات:

$m = 1,25\text{ kg}$

المطلوب:

حدد قيمة الدور الخاص $T_0$.
استنتج قيمة الصلابة $K$.
حدد قيمة سرعة $\dot{x}_G$ عند المرور بموضع التوازن لأول مرة في المنحى الموجب.

1. حدد قيمة الدور الخاص $T_0$. (0,5 نقطة)

من المعادلة $x(t) = X_m \cos(4t + \pi)$، نجد أن $\omega_0 = 4\text{ rad/s}$.

$$T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx \mathbf{1,57\text{ s}}$$

2. استنتج قيمة الصلابة K. (0.5 نقطة)

نعلم أن $\omega_0 = \sqrt{\frac{K}{m}} \implies K = m \omega_0^2$.

$$K = 1.25 \times 4^2 = 1.25 \times 16 = \mathbf{20\text{ N.m}^{-1}}$$

3. حدد قيمة $\dot{x}_G$ سرعة G عند المرور بموضع التوازن لأول مرة في المنحى الموجب. (0,5 نقطة)

عند موضع التوازن، السرعة عظمى: $V_{max} = X_m \omega_0 = 0.05 \times 4 = 0.2\text{ m/s}$.

بما أنه يمر لأول مرة في المنحى الموجب، تكون الإشارة موجبة.

$\dot{x}_G = \mathbf{0,2\text{ m.s}^{-1}}$.

A: \(i(t) = 0,06 \cdot e^{-3333,3 \cdot t} (A)\)	B: \(i(t) = -0,06 \cdot e^{-3333,3 \cdot t} (A)\)
C: \(i(t) = 0,6 \cdot e^{-3333,3 \cdot t} (A)\)	D: \(i(t) = 6 \cdot e^{-3333,3 \cdot t} (A)\)