الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا

1) a) Appartenance de $A$ au plan $(P)$ et vecteur normal :

• En remplaçant les coordonnées de $A(1,1,0)$ dans l'équation cartésienne du plan $(P) : x + z - 1 = 0$, on obtient : $1 + 0 - 1 = 0$. L'égalité est vérifiée, donc $A \in (P)$. (0.25 pt)
• D'après l'équation cartésienne $1x + 0y + 1z - 1 = 0$, les coefficients devant $x, y$ et $z$ donnent directement les coordonnées d'un vecteur normal. Ainsi, $\vec{n}(1,0,1)$ est un vecteur normal à $(P)$. (0.25 pt)

1) b) Position relative de la droite $(\Omega A)$ et du plan $(P)$ :

• Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{\Omega A}$ : $\vec{\Omega A}(x_A - x_\Omega, y_A - y_\Omega, z_A - z_\Omega) = (1 - (-1), 1 - 1, 0 - (-2)) = (2,0,2)$.
• On remarque que $\vec{\Omega A} = 2\vec{n}$. Les vecteurs $\vec{\Omega A}$ et $\vec{\n}$ sont donc colinéaires.
• Puisque le vecteur directeur de la droite $(\Omega A)$ est colinéaire au vecteur normal du plan $(P)$, on en déduit rigoureusement que la droite $(\Omega A)$ est perpendiculaire au plan $(P)$. (0.25 pt méthode + 0.25 pt résultat)

2) a) Équation réduite de la sphère $(S)$ :

• Transformons l'équation cartésienne générale en regroupant les termes sous forme d'identités remarquables :
  $x^2+2x = (x+1)^2 - 1$ $y^2-2y = (y-1)^2 - 1$ $z^2+4z = (z+2)^2 - 4$
• L'équation devient : $(x+1)^2 - 1 + (y-1)^2 - 1 + (z+2)^2 - 4 - 3 = 0 \iff (x+1)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9$.
• On reconnaît l'équation d'une sphère de la forme $(x-x_\Omega)^2 + (y-y_\Omega)^2 + (z-z_\Omega)^2 = R^2$. Par identification, $(S)$ est une sphère de centre $\Omega(-1,1,-2)$ et de rayon $R = \sqrt{9} = 3$. (0.25 pt centre + 0.25 pt rayon)

2) b) Intersection de la sphère $(S)$ et du plan $(P)$ :

• Calculons la distance du centre $\Omega(-1,1,-2)$ au plan $(P) : x+z-1=0$ : $$d(\Omega, (P)) = \frac{|x_\Omega + z_\Omega - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + (-2) - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$
• Comparons la distance $d$ au rayon $R$ : on sait que $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ et $R = 3 = \sqrt{9}$. Comme $d < R$, le plan $(P)$ coupe bien la sphère $(S)$ selon un cercle. (0.25 pt)
• Le rayon $r$ de ce cercle se calcule par le théorème de Pythagore : $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 8} = 1$.
• Le centre du cercle d'intersection est le projeté orthogonal du centre $\Omega$ sur le plan $(P)$. Or, d'après les questions 1.a et 1.b, la droite $(\Omega A)$ est perpendiculaire à $(P)$ et le point $A$ appartient à $(P)$. Le point $A$ est donc le centre du cercle. (0.25 pt)

3) a) Appartenance de $A$ à $(Q_m)$ pour tout $m$ réel :

• Injectons les coordonnées de $A(1,1,0)$ dans l'équation de $(Q_m) : x + y + mz - 2 = 0$.
• On obtient : $1 + 1 + m(0) - 2 = 2 + 0 - 2 = 0$. Cette égalité étant vraie indépendamment de la valeur de $m$, $A \in (Q_m)$ pour tout $m \in \mathbb{R}$. (0.25 pt)

3) b) Condition d'orthogonalité des deux plans :

• Un vecteur normal au plan $(Q_m)$ est $\vec{n}_{Q_m}(1, 1, m)$ et un vecteur normal à $(P)$ est $\vec{n}_P(1, 0, 1)$.
• Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (produit scalaire nul) : $$\vec{n}_{Q_m} \cdot \vec{n}_P = 0 \iff (1)(1) + (1)(0) + (m)(1) = 0 \iff 1 + m = 0 \iff m = -1$$
• La valeur cherchée est donc $m = -1$. (0.25 pt méthode + 0.25 pt résultat)

3) c) Existence d'un plan $(Q_m)$ dont le cercle d'intersection est centré en $A$ :

• Pour qu'un plan coupe la sphère $(S)$ en un cercle de centre $A$, il est nécessaire que la droite passant par le centre de la sphère $\Omega$ et perpendiculaire à ce plan soit la droite $(\Omega A)$.
• Cela implique que le vecteur $\vec{\Omega A}(2,0,2)$ doit être colinéaire au vecteur normal du plan $\vec{n}_{Q_m}(1,1,m)$.
• Cherchons un réel $k$ tel que $\vec{\Omega A} = k \cdot \vec{n}_{Q_m}$, ce qui se traduit par le système :
  $2 = k \cdot 1 \implies k = 2$ $0 = k \cdot 1 \implies k = 0$
• Il y a une contradiction évidente ($k$ ne peut pas valoir simultanément $2$ et $0$). Les vecteurs ne peuvent jamais être colinéaires.
• En conclusion, il n'existe aucun réel $m$ satisfaisant cette condition. (0.25 pt)

1) Calcul du discriminant $\Delta$ :

• Pour l'équation $1z^2 - 4z + 9 = 0$, on a $a=1, b=-4, c=9$.
• $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(9) = 16 - 36 = -20$.
• Comme $-20 = 20 \cdot i^2 = 4 \cdot 5 \cdot i^2$, on peut l'écrire sous la forme d'un carré complexe : $\Delta = (2i\sqrt{5})^2$. (0.25 pt)

2) Détermination des solutions complexes :

• Le discriminant étant strictement négatif, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
• $z_1 = \frac{-b + 2i\sqrt{5}}{2a} = \frac{4 + 2i\sqrt{5}}{2} = \mathbf{2 + i\sqrt{5}}$ (0.25 pt)
• $z_2 = \bar{z}_1 = \frac{4 - 2i\sqrt{5}}{2} = \mathbf{2 - i\sqrt{5}}$ (0.25 pt)
• L'ensemble des solutions est : $S = \{2 - i\sqrt{5} \;; 2 + i\sqrt{5}\}$.

1) a) Vérification du module $|a|$ :

• Par définition du module d'un nombre complexe $z=x+iy$, $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$.
• Pour $a = 2 + i\sqrt{5}$ : $|a| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = \mathbf{3}$. (0.25 pt)

1) b) Nature du triangle $OAB$ :

• Calculons les distances correspondantes aux segments du repère :
• $OA = |a - z_O| = |a| = 3$.
• $OB = |b - z_O| = |b| = |2 - i\sqrt{5}|$. Comme $b = \bar{a}$, leurs modules sont égaux, d'où $OB = |a| = 3$.
• Puisque $OA = OB = 3$, le triangle $OAB$ est un triangle isocèle en $O$. (0.25 pt)

2) a) Calcul du rapport complexe :

• Remplaçons les affixes et développons : $$\frac{a-c}{b-c} = \frac{(2+i\sqrt{5}) - (2-\sqrt{5})}{(2-i\sqrt{5}) - (2-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}+i\sqrt{5}}{\sqrt{5}-i\sqrt{5}}$$
• En factorisant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{5}$, l'expression se simplifie : $\frac{\sqrt{5}(1+i)}{\sqrt{5}(1-i)} = \frac{1+i}{1-i}$.
• Multiplions par le conjugué du dénominateur $(1+i)$ : $$\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = \mathbf{i}$$
• On a bien validé que $\frac{a-c}{b-c} = i$. (0.5 pt)

2) b) Déduction de la nature du triangle $ABC$ :

• En passant au module : $\left|\frac{a-c}{b-c}\right| = |i| \implies \frac{AC}{BC} = 1 \implies \mathbf{AC = BC}$. Le triangle est donc isocèle en $C$.
• En passant à l'argument : $\text{arg}\left(\frac{a-c}{b-c}\right) \equiv \text{arg}(i) \; [2\pi] \implies (\vec{CB}, \vec{CA}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$. Le triangle possède un angle droit en $C$.
• Conclusion : $ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $C$. (0.25 pt rectangle + 0.25 pt isocèle)

3) a) Détermination de l'affixe du point $D$ :

• Par définition, $D$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{CA}$ si et seulement si $\vec{BD} = \vec{CA}$.
• Cette égalité vectorielle se traduit sur les affixes par : $d - b = a - c \iff d = a + b - c$.
• Calcul numérique : $d = (2 + i\sqrt{5}) + (2 - i\sqrt{5}) - (2 - \sqrt{5}) = 4 - 2 + \sqrt{5} = \mathbf{2 + \sqrt{5}}$.
• L'affixe de $D$ est $d = 2 + \sqrt{5}$. (0.25 pt méthode + 0.25 pt résultat)

3) b) Preuve que $ADBC$ est un carré :

• L'égalité vectorielle $\vec{BD} = \vec{CA}$ prouve directement que le quadrilatère $CABD$ (nommé dans l'ordre trigonométrique $ADBC$) est un parallélogramme.
• D'après la question 2.b, ce parallélogramme possède un angle droit en $C$ ($(\vec{CB}, \vec{CA}) = 90^\circ$). Un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle.
• De plus, toujours d'après la question 2.b, il possède deux côtés consécutifs de même longueur ($AC = BC$). Un rectangle avec deux côtés adjacents égaux est un carré.
• Conclusion : $ADBC$ est un carré. (0.5 pt)

4) a) Propriété algébrique de la suite $x_n$ :

• Exprimons le produit demandé : $x_n\bar{x}_n = \left(\frac{a}{3}\right)^n \cdot \overline{\left(\frac{a}{3}\right)^n} = \left(\frac{a}{3}\right)^n \cdot \left(\frac{\bar{a}}{3}\right)^n = \left(\frac{a\bar{a}}{9}\right)^n$.
• Comme $a\bar{a} = |a|^2 = 3^2 = 9$, on obtient : $x_n\bar{x}_n = \left(\frac{9}{9}\right)^n = 1^n = \mathbf{1}$. (0.25 pt)

4) b) Calcul de la somme $y_n + \bar{y}_n$ et partie réelle :

• Développons la somme en mettant au même dénominateur : $$y_n + \bar{y}_n = \frac{1}{1-x_n} + \frac{1}{1-\bar{x}_n} = \frac{(1-\bar{x}_n) + (1-x_n)}{(1-x_n)(1-\bar{x}_n)} = \frac{2 - (x_n + \bar{x}_n)}{1 - x_n - \bar{x}_n + x_n\bar{x}_n}$$
• En utilisant la relation établie à la question précédente ($x_n\bar{x}_n = 1$), le dénominateur se simplifie : $1 - x_n - \bar{x}_n + 1 = 2 - (x_n + \bar{x}_n)$.
• L'expression devient alors : $y_n + \bar{y}_n = \frac{2 - (x_n + \bar{x}_n)}{2 - (x_n + \bar{x}_n)} = \mathbf{1}$. (0.25 pt)
• Pour tout nombre complexe, on sait que $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$. Appliqué ici : $2\text{Re}(y_n) = 1$.
• On en déduit que la partie réelle de $y_n$ est constante pour tout $n$ et vaut : $\text{Re}(y_n) = \frac{1}{2}$. (0.25 pt)

1) Nombre de tirages possibles (Cardinal de l'univers $\Omega$) :

• L'urne contient un total de $4 \text{ (blanches)} + 3 \text{ (noires)} + 1 \text{ (verte)} = 8$ boules.
• On tire successivement sans remise $3$ boules parmi les $8$ disponibles.
• Le nombre total de résultats possibles est donné par : $$\text{card}(\Omega) = A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = \mathbf{336}$$
• Il y a donc bien $336$ tirages possibles au total. (0.25 pt)

2) Probabilité de l'évènement $A$ (« Tirer trois boules blanches ») :

• L'urne contient $4$ boules blanches. L'événement $A$ consiste à choisir $3$ boules blanches parmi ces $4$.
• Le nombre de cas favorables est : $\text{card}(A) = A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = \mathbf{24}$.
• En situation d'équiprobabilité, la probabilité est définie par : $$p(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{24}{336} = \frac{24 \times 1}{24 \times 14} = \mathbf{\frac{1}{14}}$$
• La probabilité d'obtenir trois boules blanches est égale à $\frac{1}{14}$. (0.25 pt formule + 0.25 pt résultat)

3) Probabilité de l'évènement $B$ (« Tirer trois boules de même couleur ») :

• Pour obtenir trois boules de même couleur, nous devons étudier les possibilités pour chaque couleur :
  • Obtenir 3 boules blanches : possible car il y a 4 blanches dans l'urne ($A_4^3$ façons).
  • Obtenir 3 boules noires : possible car il y a 3 noires dans l'urne ($A_3^3$ façons).
  • Obtenir 3 boules vertes : impossible car l'urne ne contient qu'une seule boule verte.
• Les deux configurations étant exclusives (disjointes), le nombre total de cas favorables est : $$\text{card}(B) = A_4^3 + A_3^3 = 24 + (3 \times 2 \times 1) = 24 + 6 = \mathbf{30} \quad \text{(0.5 pt)}$$
• On calcule ensuite la probabilité : $$p(B) = \frac{\text{card}(B)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{30}{336} = \frac{6 \times 5}{6 \times 56} = \mathbf{\frac{5}{56}}$$
• On retrouve bien la valeur attendue par l'énoncé : $p(B) = \frac{5}{56}$. (0.25 pt)

4) Probabilité de l'évènement $C$ (« Obtenir au moins deux couleurs différentes ») :

• L'événement $C$ (« au moins deux couleurs différentes ») est le contraire absolu de l'événement « toutes les boules tirées ont la même couleur ».
• Par conséquent, l'événement contraire de $C$ (noté $\bar{C}$) n'est autre que l'événement $B$ étudié à la question précédente : $\bar{C} = B$.
• En utilisant la propriété des probabilités des événements contraires ($p(C) = 1 - p(\bar{C})$), on écrit : $$p(C) = 1 - p(B) = 1 - \frac{5}{56} = \frac{56}{56} - \frac{5}{56} = \mathbf{\frac{51}{56}}$$
• La probabilité d'obtenir au moins deux couleurs différentes est $\frac{51}{56}$. (0.25 pt méthode + 0.25 pt résultat)

1) a) Justification de l'encadrement fonctionnel :

• Sur l'intervalle $]-1, +\infty[$, on observe graphiquement les positions relatives suivantes :
• La courbe $(\mathcal{C}_g)$ de la fonction $g(x)=\frac{x}{1+x}$ est située en dessous de la courbe $(\mathcal{C}_h)$ de la fonction $h(x)=\ln(1+x)$. Donc : $\frac{x}{1+x} \le \ln(1+x)$.
• La courbe $(\mathcal{C}_h)$ est elle-même située en dessous de la droite d'équation $y=x$. Donc : $\ln(1+x) \le x$.
• Par transitivité, on valide l'encadrement global : $\frac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x$. (0.5 pt)

1) b) Déduction de l'inégalité :

• D'après la partie gauche de l'inégalité établie en 1) a), on sait que : $\frac{x}{1+x} \le \ln(1+x)$ pour tout $x \in ]-1, +\infty[$.
• Comme $x > -1$, le facteur $(1+x)$ est strictement positif. On peut multiplier les deux membres par $(1+x)$ sans changer le sens de l'inégalité : $$x \le (1+x)\ln(1+x) \iff (1+x)\ln(1+x) - x \ge 0$$
• L'inégalité est donc démontrée. (0.25 pt)

1) c) Preuve de l'inégalité exponentielle :

• Pour tout réel $x \in \mathbb{R}$, on sait que $e^x > 0$. Ainsi, $e^x \in ]-1, +\infty[$.
• Appliquons l'inégalité de la question 1) b) en remplaçant la variable variable $x$ par le terme $e^x$ : $$(1+e^x)\ln(1+e^x) - e^x \ge 0 \iff (1+e^x)\ln(1+e^x) \ge e^x$$
• En multipliant par $-1$, on inverse le sens de l'inégalité, ce qui donne : $e^x - (1+e^x)\ln(1+e^x) \le 0$. (0.5 pt)

2) a) Démonstration par récurrence :

• Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1$. L'encadrement $0 < 1 \le 1$ est vrai. La propriété est initialisée.
• Hérédité : Supposons qu'il existe un entier $n \ge 0$ tel que $0 < u_n \le 1$. Montrons que $0 < u_{n+1} \le 1$.
• La fonction $g(x) = \frac{x}{1+x}$ a pour dérivée $g'(x) = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$, elle est donc strictement croissante sur $]0, 1]$.
• En appliquant $g$ à notre hypothèse de récurrence : $0 < u_n \le 1 \implies g(0) < g(u_n) \le g(1) \implies 0 < u_{n+1} \le \frac{1}{2} \le 1$.
• L'hérédité est validée. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \le 1$. (0.5 pt)

2) b) Étude de la monotonie de $(u_n)$ :

• Étudions le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ : $u_{n+1} - u_n = g(u_n) - u_n = \frac{u_n}{1+u_n} - u_n = \frac{u_n - u_n(1+u_n)}{1+u_n} = \frac{-u_n^2}{1+u_n}$.
• Puisque d'après la question précédente $0 < u_n \le 1$, le numérateur $-u_n^2$ est strictement négatif et le dénominateur est positif.
• Par conséquent, $u_{n+1} - u_n < 0$, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. (0.5 pt)

2) c) Convergence de la suite :

• La suite $(u_n)$ est strictement décroissante (question 2.b) et elle est minorée par $0$ (question 2.a).
• D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. (0.25 pt)

2) d) Détermination de la limite de $(u_n)$ :

• La fonction $g$ étant continue sur $[0,1]$ et vérifiant $u_{n+1}=g(u_n)$, la limite $\ell$ de la suite est solution de l'équation de point fixe $g(\ell) = \ell$.
• $g(\ell) = \ell \iff \frac{\ell}{1+\ell} = \ell \iff \ell = \ell(1+\ell) \iff \ell^2 = 0 \iff \ell = 0$.
• La suite $(u_n)$ converge donc vers $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$. (0.75 pt)

1) a) Calcul de l'image de $0$ et signe de la fonction :

• $f(0) = e^{-0}\ln(1+e^0) = 1 \cdot \ln(1+1) = \mathbf{\ln 2}$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{-x} > 0$ et $e^x > 0 \implies 1+e^x > 1 \implies \ln(1+e^x) > \ln(1) = 0$.
• Le produit de deux termes strictement positifs étant positif, $f(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. (0.5 pt)

1) b) Limite en $-\infty$ et interprétation :

• On sait que $\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$, donc $\lim_{x\to-\infty} \ln(1+e^x) = \ln(1) = 0$. On fait face à une forme indéterminée du type $0 \times \infty$.
• Levons l'indétermination en posant le changement de variable $t = e^x$ (lorsque $x \to -\infty$, $t \to 0^+$) : $$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{\ln(1+e^x)}{e^x} = \lim_{t\to 0^+} \frac{\ln(1+t)}{t} = \mathbf{1}$$
• Interprétation géométrique : La droite d'équation $y=1$ est une asymptote horizontale à $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $-\infty$. (0.5 pt)

1) c) Limite en $+\infty$ et interprétation :

• En $+\infty$, $\lim_{x\to+\infty} e^{-x} = 0$ et $\lim_{x\to+\infty} \ln(1+e^x) = +\infty$. Modifions l'écriture du logarithme : $\ln(1+e^x) = \ln\left(e^x(e^{-x}+1)\right) = \ln(e^x) + \ln(1+e^{-x}) = x + \ln(1+e^{-x})$.
• L'expression devient : $f(x) = e^{-x}\left(x + \ln(1+e^{-x})\right) = \frac{x}{e^x} + e^{-x}\ln(1+e^{-x})$.
• Par croissances comparées, $\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{e^x} = 0$, et pour le second bloc : $0 \times \ln(1) = 0$. Ainsi, $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \mathbf{0}$.
• Interprétation géométrique : L'axe des abscisses d'équation $y=0$ est une asymptote horizontale à $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $+\infty$. (0.5 pt)

2) a) Calcul de la dérivée $f'(x)$ :

• En utilisant la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x)=e^{-x}$ et $v(x)=\ln(1+e^x)$ :
• $u'(x) = -e^{-x}$ et $v'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$.
• $$f'(x) = -e^{-x}\ln(1+e^x) + e^{-x} \cdot \frac{e^x}{1+e^x} = -e^{-x}\ln(1+e^x) + \frac{1}{1+e^x}$$
• On retrouve bien la forme attendue : $f'(x) = \frac{1}{1+e^x} - e^{-x}\ln(1+e^x)$. (0.5 pt)

2) b) Factorisation de la dérivée :

• Mettons l'expression de la question précédente au même dénominateur commun, choisi comme $e^x(1+e^x)$ : $$f'(x) = \frac{e^x}{e^x(1+e^x)} - \frac{(1+e^x)\ln(1+e^x)}{e^x(1+e^x)} = \mathbf{\frac{e^x - (1+e^x)\ln(1+e^x)}{e^x(1+e^x)}}$$
• La formule demandée est vérifiée. (0.5 pt)

2) c) Variations de la fonction $f$ :

• Étudions le signe de $f'(x)$. Le dénominateur $e^x(1+e^x)$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de son numérateur : $e^x - (1+e^x)\ln(1+e^x)$.
• Or, d'après l'étude de la Partie I question 1) c), nous avons prouvé que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $e^x - (1+e^x)\ln(1+e^x) \le 0$ (s'annulant uniquement en $0$).
• Par conséquent, la dérivée est strictement négative sur $\mathbb{R}^*$, ce qui prouve que $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. (0.5 pt)

3) a) Équation de la tangente $(T)$ en $x=0$ :

• La formule générale de la tangente est : $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$.
• Calcul de $f'(0)$ : $f'(0) = \frac{1}{1+e^0} - e^0\ln(1+e^0) = \frac{1}{2} - \ln 2$. On sait déjà que $f(0)=\ln 2$.
• L'équation de la tangente $(T)$ est : $y = \left(\frac{1}{2} - \ln 2\right)x + \ln 2$. (0.5 pt)

3) b) Vérification du point d'appartenance de $A(1, \frac{1}{2})$ :

• Remplaçons $x$ par $1$ dans l'équation de la droite $(T)$ : $$y = \left(\frac{1}{2} - \ln 2\right) \cdot 1 + \ln 2 = \frac{1}{2} - \ln 2 + \ln 2 = \mathbf{\frac{1}{2}}$$
• L'ordonnée obtenue correspond bien à celle du point $A$, la droite $(T)$ passe donc bien par $A(1, \frac{1}{2})$. (0.25 pt)

3) c) Tracé de la courbe et de la tangente :

• Pour tracer $(T)$, on utilise le point d'intersection avec l'axe des ordonnées $(0 ; 0,7)$ et le point $A(1 ; 0,5)$.
• La courbe $(\mathcal{C}_f)$ descend depuis son asymptote $y=1$ à gauche, traverse l'axe des ordonnées en $0,7$ en étant tangente à $(T)$, puis s'écrase vers son asymptote horizontale $y=0$ à droite. (0.75 pt)

4) a) Existence de la fonction réciproque $f^{-1}$ :

• La fonction $f$ est continue (comme somme et produit de fonctions continues) et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
• D'après le théorème de la bijection, $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle image $J = f(\mathbb{R})$.
• $$J = \left] \lim_{x\to+\infty} f(x) \;; \lim_{x\to-\infty} f(x) \right[ = \mathbf{]0, 1[}$$
• La fonction $f^{-1}$ est donc bien définie de $J = ]0, 1[$ vers $\mathbb{R}$. (0.5 pt)

4) b) Dérivabilité et calcul du nombre dérivé de $f^{-1}$ :

• On cherche à évaluer la dérivabilité en $y_0 = \ln 2$. On remarque d'après la question 1) a) que $f(0) = \ln 2$, ce qui donne $f^{-1}(\ln 2) = 0$.
• La fonction $f$ est dérivable en $0$ et sa dérivée $f'(0) = \frac{1}{2} - \ln 2$ est différente de $0$ (car $\ln 2 \approx 0,7 \neq 0,5$). Par conséquent, $f^{-1}$ est dérivable en $\ln 2$.
• Utilisons la formule de dérivation des fonctions réciproques $(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$ : $$(f^{-1})'(\ln 2) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{\frac{1}{2} - \ln 2} = \mathbf{\frac{2}{1 - 2\ln 2}}$$
• La valeur exacte recherchée est $\frac{2}{1 - 2\ln 2}$. (0.5 pt)

5) a) Vérification algébrique :

• Multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction par $e^{-x}$ : $$\frac{1}{1+e^x} = \frac{1 \cdot e^{-x}}{(1+e^x) \cdot e^{-x}} = \mathbf{\frac{e^{-x}}{1 \cdot e^{-x} + e^x \cdot e^{-x}}} = \mathbf{\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}}$$
• L'égalité est vérifiée pour tout réel $x$. (0.25 pt)

5) b) Calcul de l'intégrale :

• En utilisant la transformation établie en 5) a), l'intégrale s'écrit sous la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$ en posant $u(x) = 1+e^{-x}$ (d'où $u'(x) = -e^{-x}$) : $$\int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x} dx = -\int_0^\lambda \frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} dx = \left[ -\ln(1+e^{-x}) \right]_0^\lambda$$
• Développement des bornes : $-\ln(1+e^{-\lambda}) - (-\ln(1+e^0)) = -\ln(1+e^{-\lambda}) + \ln(2)$.
• On réorganise pour trouver l'expression de l'énoncé : $\ln(2) - \ln(1+e^{-\lambda})$. (0.5 pt)

5) c) Intégration par parties :

• Pour l'intégrale $\int_0^\lambda e^{-x}\ln(1+e^x)dx$, posons :
  • $u(x) = \ln(1+e^x) \implies u'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$
  • $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$
• En appliquant la formule $\int uv' = [uv] - \int u'v$ : $$\int_0^\lambda f(x)dx = \left[ -e^{-x}\ln(1+e^x) \right]_0^\lambda - \int_0^\lambda \left(-\frac{e^{-x} \cdot e^x}{1+e^x}\right) dx$$
• Comme $e^{-x}\cdot e^x = 1$, le second bloc se simplifie : $- \int_0^\lambda -\frac{1}{1+e^x}dx = +\int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x}dx$.
• En remplaçant les bornes du crochet : $\left(-e^{-\lambda}\ln(1+e^\lambda)\right) - \left(-e^0\ln(1+e^0)\right) = -f(\lambda) + \ln 2$.
• On rassemble le tout : $\int_0^\lambda f(x)dx = \ln(2) - f(\lambda) + \int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x}dx$. (0.5 pt)

5) d) Expression de l'aire $\mathcal{A}_\lambda$ :

• La fonction $f$ étant strictement positive sur l'intervalle $[0, \lambda]$ (d'après 1.a), l'aire géométrique sous la courbe est donnée directement par l'intégrale de la fonction : $\mathcal{A}_\lambda = \int_0^\lambda f(x)dx$.
• En combinant les résultats des questions 5) b) et 5) c) : $$\mathcal{A}_\lambda = \ln 2 - f(\lambda) + \left(\ln 2 - \ln(1+e^{-\lambda})\right) = \mathbf{2\ln 2 - f(\lambda) - \ln(1+e^{-\lambda})}$$
• L'expression de l'aire est $\mathcal{A}_\lambda = 2\ln 2 - f(\lambda) - \ln(1+e^{-\lambda})$ (en unités d'aire). (0.5 pt)

5) e) Calcul de la limite de l'aire :

• Faisons tendre $\lambda$ vers $+\infty$ dans notre expression de $\mathcal{A}_\lambda$ :
• D'après la question 1) c) de la Partie II, $\lim_{\lambda\to+\infty} f(\lambda) = 0$.
• Comme $\lim_{\lambda\to+\infty} e^{-\lambda} = 0$, on a $\lim_{\lambda\to+\infty} \ln(1+e^{-\lambda}) = \ln(1) = 0$.
• Par conséquent, la limite totale vaut : $\lim_{\lambda\to+\infty} \mathcal{A}_\lambda = 2\ln 2$. (0.5 pt)